Оба предложения корректны с грамматической точки зрения, но они передают разное время действия.

"..., чтобы участники мероприятия получали коллекционные издания нашей книги, выполняя задания" - в данном случае используется форма герундия, которая подразумевает, что участники продолжат выполнять задания в будущем и, соответственно, будут получать коллекционные издания.

"..., чтобы участники мероприятия получали коллекционные издания нашей книги, выполнив задания" - в данном случае используется форма причастия, которая указывает на то, что участники получат коллекционные издания после того, как выполнят задания.

Выбор между герундием и причастием зависит от того, какое значение вы хотите передать: актуальное выполнение заданий $герундий$ или выполнение заданий как предпосылку для получения изданий $причастие$.