Данная конструкция сочетает в себе и целевое, и определительное ПП: "настаивать на чем?" - определительное, "чтобы она ему открылась" - целевое.

Поэтому, чтобы полностью охарактеризовать предложение, можно спросить как настаивал (с какой целью) и на чем настаивал.