"Заснуть" и "уснуть" являются синонимами и обозначают состояние сна. Однако, в русском языке более употребительным является слово "заснуть". "Уснуть" используется в более официальной речи или стилях письма. Таким образом, разницы между этими словами по смыслу нет, просто одно из них более устарело в повседневном языке.