Слово "немощеный" пишется с буквой "щ" в корне, так как она образована от глагола "мочь". В этом слове суффикс "ен" добавляется к корню "мог", который изменяется на "мощ". Правильное написание данного слова в соответствии с правилами русского языка - "немощеный".