Оба варианта "он пошел во двор" и "он пошел на двор" могут использоваться, но у них есть небольшая разница в значении.

"Он пошел во двор" обычно означает, что человек вошел в само пространство двора, т.е. находится внутри него. Это выражение употребляется, когда речь идет о нахождении внутри какого-то закрытого пространства (например, двора, дома и т.д.).

"Он пошел на двор" может означать, что человек направился к двору или на его территорию, но сам факт нахождения внутри двора не обязателен.

Таким образом, правильно употреблять тот вариант, который более точно передает ваше намерение или ситуацию.