Правильно будет написать "продам (-ю) квартиру", так как это форма глагола в первом лице единственного числа. "Продаётся квартира" используется в объявлениях и означает, что квартира продается (действие совершается) неким субъектом (человеком).

Неодушевленный предмет не может сам с собой производить действие, в данном случае это грамматический прием, позволяющий выразить факт продажи квартиры, но в действии все равно участвует человек (владелец или агент).