Суффикс "ся" в слове "отчаиваться" указывает на форму возвратного глагола. В данном случае, слово "отчаявшийся" означает, что человек сам находится в состоянии отчаяния, что действие направлено на самого себя. Именно поэтому пишется "ся" в данной форме слова.