Предложение является сложноподчинённым. В основе предложения находится подлежащее "лес" и сказуемое "дает". Сказуемое дополнено подчинённым предложением "много полезного: веники, чагу, дрова". В данном подчинённом предложении сказуемое "дает", а подлежащее "лес" и частица "нам", выступающая в данном контексте в роли дополнения, опущены.

Синтаксический разбор:

лес (подлежащее)нам (дополнение)дает (сказуемое)много полезного: веники, чагу, дрова (дополнение)