Оба варианта слов "аккуратно" и "осторожно" правильные, их использование зависит от контекста:

"Аккуратно" обычно означает делать что-то тщательно, аккуратно, без торопливости.
Пример: Пожалуйста, переносите эти предметы аккуратно, чтобы ничего не повредить.

"Осторожно" обычно означает делать что-то с осторожностью, чтобы избежать опасности или травмы.
Пример: Осторожно переходите дорогу, чтобы не попасть под машину.