Слово "запиши" означает делать запись, записывать что-либо на бумаге или в другом медиа, в то время как "напиши" означает писать текст или сообщение. Например: "Запиши свой номер телефона, чтобы я мог связаться с тобой" и "Напиши письмо своему другу и расскажи ему о своих новостях".