Оба слова имеют отношение к борьбе или конфликту. "Браниться" означает выяснять отношения, спорить или ссориться, а "бороться" означает действовать против противника или испытывать сопротивление. Оба слова связаны с идеей конфликта и стремления к победе или разрешению проблемы.