Слова "горе" и "гореть" являются близкородственными, так как они имеют общий корень - "гор". В лексике русского языка существует множество слов, образованных от этого корня, и все они связаны с понятием огня, горения и тепла. Например, слова "огонь", "погорельцы", "погореть" и другие также имеют этот корень.

Кроме того, слова "горе" и "гореть" имеют близкие по значению смыслы. "Горе" означает печаль, тоску, горе, а "гореть" - гореть, пылать, быть в огне. Таким образом, оба слова связаны с понятиями огня, тепла и негативных эмоций или состояний.

Таким образом, можно сделать вывод, что слова "горе" и "гореть" являются близкородственными, так как они имеют общий корень и близкие по значению смыслы.