В слове "по-домашнему" есть несколько орфограмм:

Слитно пишется предлог "по-" с частью другого слова, в данном случае "домашнему".В слове "домашнему" правильно употребляется сочетание "домашний" с суффиксом "-ему", образующим форму дательного падежа мужского рода единственного числа.

Таким образом, слово "по-домашнему" записывается с учетом данных орфограмм.