Пусть данная точка имеет координаты (x, y), а центр окружности имеет координаты (0, 0).

Тогда наибольшее расстояние от данной точки до точек окружности будет равно расстоянию от данной точки до центра окружности + радиус окружности. То есть (\sqrt{x^2 + y^2} + r = 50) см.

Наименьшее расстояние от данной точки до точек окружности будет равно модулю разности расстояния от данной точки до центра окружности и радиуса окружности. То есть (| \sqrt{x^2 + y^2} - r| = 20) см.

Имеем такую систему уравнений:

[
\begin{cases}
\sqrt{x^2 + y^2} + r = 50 \
| \sqrt{x^2 + y^2} - r| = 20
\end{cases}
]

Из первого уравнения выразим (r):

(r = 50 - \sqrt{x^2 + y^2})

Подставим это значение (r) во второе уравнение:

(| \sqrt{x^2 + y^2} - (50 - \sqrt{x^2 + y^2})| = 20)

(| \sqrt{x^2 + y^2} - 50 + \sqrt{x^2 + y^2})| = 20)

(|2\sqrt{x^2 + y^2} - 50| = 20)

(2\sqrt{x^2 + y^2} - 50 = 20) или (2\sqrt{x^2 + y^2} - 50 = -20)

(2\sqrt{x^2 + y^2} = 70) или (2\sqrt{x^2 + y^2} = 30)

(\sqrt{x^2 + y^2} = 35) или (\sqrt{x^2 + y^2} = 15)

(x^2 + y^2 = 35^2) или (x^2 + y^2 = 15^2)

(x^2 + y^2 = 1225) или (x^2 + y^2 = 225)

Следовательно, радиус окружности равен (\sqrt{1225} = 35) см.