Для того чтобы доказать, что в одной из форм слова "ЖИЛКИ" или "СТУДЕНЬ" есть беглый гласный в корне, необходимо рассмотреть процесс образования этих слов.

Слово "ЖИЛКИ" состоит из корня "ЖИЛ" и суффикса "-КИ". Исследуя происхождение слова "ЖИЛКИ", можно обратить внимание на его основное значение - это множественное число слова "ЖИЛЬЦЫ". При образовании множественного числа в русском языке может использоваться убывшая $беглая$ гласная в корне слова. Например, слово "дом" образует множественное число "дома". Поэтому в форме "ЖИЛКИ" могла использоваться беглая гласная.

Слово "СТУДЕНЬ" также состоит из корня "СТУД" и суффикса "-ЕНЬ". Изучая происхождение слова "СТУДЕНЬ", можно обратить внимание на его основное значение - это "источник холодной воды". Поэтому, возможно, в корне слова "СТУД" присутствует беглая гласная для образования этого слова.

Таким образом, для доказательства наличия беглого гласного в корне слова "ЖИЛКИ" или "СТУДЕНЬ" следует обратить внимание на процесс образования этих слов и изучить их происхождение.