Таксономически, в русском языке падеж – это категория грамматического склонения слов, которая обозначает их синтаксическое значение в предложении. В данной фразе слово "висячие" находится в родительном падеже, так как оно отвечает на вопрос "чьи?" или "чего?" (висячие чего? - висячие ветки).