Гласные И и Ы после Ц пишутся по-разному в зависимости от морфемы слова:

После мягкого согласного Ц в корне многих слов пишется буква И:

цирк, циркуль, цирюльня, цирконий, циркон, цилиндр, циплёнок, цивилизация, цикл, циклический, циклон, циркуляция, циклоп, цилиций.

После твёрдого согласного Ц в корне многих слов пишется буква Ы:

цыпленок, цыпочка, цыган, цыкать, цыганка, цыганёк, цыплёнок, цыкание, цыганский, цыкнуть, цыкнул, цыганство.

Таким образом, правильное написание гласных после Ц зависит от конкретного слова и его корня.