Предложение "Воробей сидит на ветке старого дерева" можно разобрать следующим образом:

Существительное "воробей" является подлежащим.
Глагол "сидит" является сказуемым.
Предлог "на" указывает на место, где находится воробей.
Существительное "ветке" является дополнением, обозначающим место.
Прилагательное "старого" определяет существительное "дерева".

Подробный синтаксический разбор предложения:
Подлежащее: воробей
Сказуемое: сидит
Дополнение: на ветке
Определение: старого дерева

Таким образом, данное предложение полностью разобрано синтаксически.