Предложение является сложным и состоит из двух частей, соединенных сочинительным союзом "и".

"Берёзовые рощи и аллеи вызывают чувство радости" - подлежащее: "берёзовые рощи и аллеи", сказуемое: "вызывают чувство радости", дополнение: "чувство радости".

"и покоя" - дополнение, указывающее на дополнительное чувство, которое вызывают березовые рощи и аллеи.

Общий смысл предложения: березовые рощи и аллеи не только вызывают чувство радости, но и чувство покоя.