Если в равнобедренном треугольнике провести биссектрису, медиану или высоту, перпендикулярную к основанию, то они будут совпадать.

Доказательство:

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, в котором AC = BC. Проведем высоту AD, биссектрису BE и медиану CF.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то мы знаем, что у него две равные стороны AC и BC. Таким образом, у него два равных угла: ∠ACB = ∠CAB.

Поскольку угол ACB равен углу CAB, то треугольники ACD и BCD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, CD = CD и AD = BD.

Таким образом, AD = BC / 2, BD = AC / 2, и треугольник ABD также равнобедренный.

Теперь рассмотрим треугольники ADF и BCF. У них есть 2 общих угла (∠ADF = ∠BCF и ∠AFD = ∠BFC), и третий угол в обоих треугольниках будет равен 90 градусов (так как AD и BC - высоты). Следовательно, треугольники ADF и BCF равны.

Таким образом, AF = CF, что означает, что медиана, биссектриса и высота проведенные к основанию равнобедренного треугольника совпадают.