Оба варианта являются правильными, но они используются в различных контекстах.

"Пусть начнёт читать" - употребляется, когда вы хотите выразить пожелание или приказание начать чтение прямо сейчас или в ближайшем будущем.

"Пусть начинает читать" - обычно используется, когда вы говорите о чьих-то действиях в прошлом или настоящем, и вы передаете эти действия в качестве указания или приказания начать чтение.

Таким образом, выбор между "пусть начнёт читать" или "пусть начинает читать" зависит от того, в каком времени вы хотите передать вашу мысль.