Оба выражения "сыграть друг с другом" и "сыграть между собой" являются корректными и вполне допустимыми. Они имеют похожий смысл и могут использоваться в разных контекстах.

Выражение "играть друг с другом" более распространено и обычно используется, когда речь идет о совместной деятельности или игре между двумя или более людьми.

Выражение "сыграть между собой" также корректно, оно подчеркивает взаимодействие или взаимодействие между определенными субъектами. В некоторых случаях оно может звучать более формально или официально, чем "играть друг с другом".

Таким образом, оба выражения можно использовать в речи в зависимости от контекста и интонации, ни одно из них не является неправильным или ошибочным.