падающий - от глагола "падать", настоящее деепричастие, образуется от основы "пад-" и суффикса "-ающ-"

снег - существительное, обозначающее осадки в виде белых кристаллов, неизменяемое по роду и числу

Итак, слово "падающий снег" разбивается на составные части: приставка "пад-", корень "падать", суффикс "-ающ-", существительное "снег".