Ниже — как сформулировать и численно решить задачу эволюции орбиты малого тела под воздействием притяжения Солнца и возмущений от Юпитера и Сатурна на интервале 10^5 лет, какие методы и шаг интегрирования я бы рекомендовал, и какие оценки изменения орбиты можно ожидать.

1) Формулировка задачи

Система: Солнце $массаM☉$, Юпитер $m_J$, Сатурн $m_S$ и малое тело $масса\approx 0$.Принять малое тело как тестовую частицу $ограниченнаяN‑тельнаязадача$. Уравнения движения $вгелиоцентрическихиливбарицентрическихкоординатах$:
r¨ = −G M☉ r/|r|^3 + F_J$r,r_J$ + F_S$r,r_S$,
где F_J и F_S — возмущающие ускорения от Юпитера и Сатурна $полноценныеN‑bodyускорениясучётомфактическихкоординатпланет$.Начальные условия: взять координаты и скорости планет и тела в одной системе $например,элементыJ2000/DEephemeris$. Единицы: AU, год, M☉ $илиSI,ноудобнееAU/yr/M☉$.Задача: найти эволюцию орбитальных элементов $a,e,i,\Omega ,\omega ,M$ малого тела за T = 10^5 лет и оценить изменения Δa, Δe, Δi и их характер $секулярные/колебательные/хаотические$.

2) Аналитическая ориентация $дляпредварительнойоценки$

Если тело не в среднезонной резонансе с Юпитером/Сатурном, основное влияние — секулярные возмущения $переменныеeиiвпределахнекоторойамплитуды$ и малые колебания a $вотсутствиеблизкихсближенийирезонансовaпочтисохраняется$.По линейной секулярной теории Лапласа‑Лагранжа можно оценить частоты и амплитуды изменений e и i $однакодлябольшихe/iиливблизирезонансалинейнаятеориянеприменима$.Типичные порядки величин $оценка,наосновеизвестныхрезультатовпоастероидам$:
Без резонансов/близких сближений: Δa за 10^5 лет ~ 10^-4 — 10^-2 AU $обычноближек10^{-}4–10^{-}3AU$;Δe ~ 10^-3 — 10^-2 $иногдадо10^{-}1длясильныхсекулярныхколебаний$;Δi аналогичного порядка с e.В резонансах или при близких сближениях изменения могут быть в разы большими — хаотическое рассеяние, смена полуоси на 0.1 AU и более за 10^5 лет возможно.

3) Выбор численных методов

Для долгосрочной интеграции Солнечной системы предпочтительны симплектические интеграторы — они сохраняют структуру Гамильтоновой системы и не накапливают систематическую ошибку энергии, что важно на T = 10^5 лет.
Рекомендации:
Wisdom–Holman $MVS,mixed‑variablesymplectic$ / WHFast $реализациявREBOUND$ — очень эффективен для иерархических систем $массивныйцентральныйобъект+планеты+масса‑трестоваячастица$.Симплектические схемы более высокого порядка $SABA,SABAn,symplecticcorrectors$ — снижают ошибку при том же dt.Если возможны близкие сближения с планетами: использовать гибридный интегратор $симплектическийдляобычнойэволюции,переключениенавысокопорядковыйадаптивныйметодприблизкомсближении$:
Mercury6 $hybridsymplectic+Bulirsch‑Stoer$ — классика для астероидных задач;REBOUND с переключателем IAS15 $высоко‑порядковыйадаптивныйинтегратор$ или Mercury‑style hybrid в REBOUND.Как альтернатива $еслитребуетсяоченьвысокаяточностьвкороткомчислетраекторий$: IAS15 $REBOUND$ — 15‑порядковый адаптивный интегратор с контролем погрешности; но он не симплектический и медленнее при больших ансамблях и долгих интеграциях.

4) Выбор шага интегрирования dt

Для симплектического $WH$ dt должен быть фиксирован и существенно меньше наименьшего периода тела/планет, чтобы корректно представить быстрые фазы:
Правило‑эмпирическое: dt ≤ P_min / N, где N ≈ 20…50 $N—числошаговнапериод$. Типичные значения:
Если тело в поясe астероидов $a2–3AU$: P ≈ 3–5 лет ⇒ dt ≈ 3–20 дней.Если тело на ~1 AU: P = 1 год ⇒ dt ≈ 7–18 дней.Если вы хотите быть консервативнее: dt = 1–5 дней.Для Юпитера как явного возмущателя можно ориентироваться на период Юпитера $11.86yr$ только если тело внешнее и период меньше не нужен — но минимальный период между телом и планетами определяет dt.Примеры практических настроек:
Общая долгосрочная статистика по астероидам: dt = 8–10 дней с WH + симплектическими корректорами — часто достаточна.Более строгая цель $микро‑различия,чувствительныеисследованиярезонансов$: dt = 1–3 дня.Для гибридных схем dt симплектической части обычно выбирают как выше; при включении близких сближений задача автоматически переходит на адаптивный метод с малыми локальными шагами.

5) Контроль точности и верификация

Конвергенция по шагу: прогоните интеграцию с несколькими dt $например,10,5,2.5дней$ и смотрите сходимость орбитальных элементов. Относительная разница между прогонками даст оценку численной погрешности.Сохранение первых интегралов: оценивать поведение энергии и импульса $симплектическийметоднебудетнакапливатьлинейноэнергию$.Множественные реализационные прогонки $ансамблиначальныхусловий$ для оценки чувствительности $из‑захаоса$.Оценка Ляпунова‑времени: если Lyapunov time << 10^5 лет, предсказания будут статистическими, а не детерминистическими.

6) Практическая стратегия $пошагово$

Подготовить начальные условия ГСП: координаты и скорости Солнца $барицентр$, Юпитера и Сатурна $DE430/DE440$.Задать начальные элементы малого тела.Выбрать интегратор:
Если нет близких сближений: WHFast $REBOUND$ с симплектическим корректором и порядком 2 или выше.Если возможны близкие сближения или хотите универсальность: Mercury6 hybrid или REBOUND + hybrid $WH+IAS15$.Выбрать dt: начать с dt = 5–10 дней $зависитотa$. Проверить сходимость уменьшением dt в 2 раза.Интегрировать 10^5 лет, сохранять элементы каждые, скажем, 100–1000 лет $дляанализа$ и чаще при близких сближениях.Проанализировать Δa, Δe, Δi и спектральный состав $Фурье‑анализчастот$ для выявления резонансов/секулярных мод.

7) Пример количественной оценки $конкретныйсценарий$ Предположим: малое тело — обычный астероид в поясе, a = 2.5 AU, e = 0.05, i = 5°; возмущения — Юпитер и Сатурн.

Интегратор: WHFast $REBOUND$, dt = 10 дней, симплект. корректор.Оценка по опыту интеграций: через 10^5 лет
a изменится, если нет резонанса/близких сближений, на порядка 10^-4 — 10^-3 AU;e изменится на порядка 10^-3 — 10^-2;i изменится на порядка 0.001 — 0.01 rad $0.06°—0.6°$.Если тело близко к сильному MMR $например3:1,2:1сЮпитером$ или вблизи зон Нептун‑Юпитерского резонанса, возможна диффузия в a до 0.1 AU и большие изменения e, i за 10^5 лет.

8) Выводы и рекомендации

Для достоверной долгосрочной интеграции на 10^5 лет лучший общий выбор: симплектический MVS $Wisdom–Holman/WHFast$ с фиксированным dt ~ 5–10 дней для типичных астероидных орбит; при потенциальных близких сближениях — гибрид $Mercury6илиREBOUNDhybrid$.Всегда делать контроль сходимости по dt и оценивать чувствительность к начальным условиям $ансамбли$, особенно если хотите предсказывать положение с высокой точностью, а не только общую статистику/тренды.Для грубой оценки секулярных изменений можно применять линейную секулярную теорию; для окончательного ответа — численная интеграция с вышеописанными методами.

Если хотите, могу:

Подготовить конкретную конфигурацию $начальныеэлементыпланет+примерначальныхусловийтела$,Составить команду запуска для REBOUND $скриптPython$ или Mercury6 с рекомендуемыми параметрами dt и контролем точности,Провести грубую численную оценку $наосноветипичныхрезультатов$ для заданных начальных элементов.