Экзопланетный кейс с расчетом: для звезды радиуса R = 1 R☉ при наблюдаемом транзитном снижение блеска 1% и периоде 30 суток оцените радиус планеты и примерное расстояние от звезды (используйте упрощённые допущения, приведите формулы и обозначьте предполагаемую массу звезды)
Ниже — простая оценка по указанным данным и упрощённым допущениям.
Дано:
радиус звезды Rs = 1 R☉,глубина транзита ΔF = 1% = 0.01,период P = 30 сут,предполагаемая масса звезды M⋆ = 1 M☉ 1.988×1030кг1.988×10^30 кг1.988×1030кг. Упрощения: центральный транзит, ΔF ≈ Rp/RsRp/RsRp/Rs^2, масса планеты ≪ масса звезды, круговая орбита, пренебрегаем линейным эффектом limb darkening и эксцентриситетом.
1) Радиус планеты Формула: ΔF ≈ Rp/RsRp / RsRp/Rs^2 ⇒ Rp = Rs · sqrtΔFΔFΔF.
Подставляем: Rp = 1 R☉ · sqrt0.010.010.01 = 0.1 R☉.
Переводы:
R☉ ≈ 6.957×10^8 m ⇒ Rp ≈ 6.96×10^7 m.в радиусах Земли: R⊕ ≈ 6.371×10^6 m ⇒ Rp ≈ 6.96e7 / 6.371e6 ≈ 10.9 R⊕.в радиусах Юпитера: RJ ≈ 7.149×10^7 m ⇒ Rp ≈ 0.97 RJ.
2) Примерное расстояние полуосьорбитыполуось орбитыполуосьорбиты a из третьего закона Кеплера Формула вСИв СИвСИ: P^2 = 4π^2 a^3 / GM⋆G M⋆GM⋆ ⇒ a = GM⋆P2/(4π2)G M⋆ P^2 / (4π^2)GM⋆P2/(4π2)^1/31/31/3.
Подставляем:
G = 6.67430×10^−11 m^3 kg^−1 s^−2,M⋆ = 1.988×10^30 kg,P = 30 сут = 30·86400 s = 2.592×10^6 s.
Вычисление даёт a ≈ 2.8×10^10 m ≈ 0.188 AU.
Также в радиусах звезды: a / R⋆ ≈ 2.8×10^10 / 6.96×10^8 ≈ 40.4 R⋆.
Итого: полуось около 0.19 а.е. 2.8⋅1010м~2.8·10^10 м2.8⋅1010м, т.е. ≈40 радиусов звезды.
Краткое резюме:
Rp ≈ 0.1 R☉ ≈ 10.9 R⊕ ≈ 0.97 R_J,a ≈ 0.19 AU ≈ 40 R⋆, при допущении M⋆ = 1 M☉, центрального транзита и круговой орбиты.
Ниже — простая оценка по указанным данным и упрощённым допущениям.
Дано:
радиус звезды Rs = 1 R☉,глубина транзита ΔF = 1% = 0.01,период P = 30 сут,предполагаемая масса звезды M⋆ = 1 M☉ 1.988×1030кг1.988×10^30 кг1.988×1030кг.Упрощения: центральный транзит, ΔF ≈ Rp/RsRp/RsRp/Rs^2, масса планеты ≪ масса звезды, круговая орбита, пренебрегаем линейным эффектом limb darkening и эксцентриситетом.
1) Радиус планеты
Формула:
ΔF ≈ Rp/RsRp / RsRp/Rs^2 ⇒ Rp = Rs · sqrtΔFΔFΔF.
Подставляем:
Rp = 1 R☉ · sqrt0.010.010.01 = 0.1 R☉.
Переводы:
R☉ ≈ 6.957×10^8 m ⇒ Rp ≈ 6.96×10^7 m.в радиусах Земли: R⊕ ≈ 6.371×10^6 m ⇒ Rp ≈ 6.96e7 / 6.371e6 ≈ 10.9 R⊕.в радиусах Юпитера: RJ ≈ 7.149×10^7 m ⇒ Rp ≈ 0.97 RJ.Итого: радиус планеты ≈ 0.1 R☉ ≈ 10.9 R⊕ ≈ 0.97 R_J примерноюпитерианскийпримерно юпитерианскийпримерноюпитерианский.
2) Примерное расстояние полуосьорбитыполуось орбитыполуосьорбиты a из третьего закона Кеплера
Формула вСИв СИвСИ:
P^2 = 4π^2 a^3 / GM⋆G M⋆GM⋆ ⇒ a = GM⋆P2/(4π2)G M⋆ P^2 / (4π^2)GM⋆P2/(4π2)^1/31/31/3.
Подставляем:
G = 6.67430×10^−11 m^3 kg^−1 s^−2,M⋆ = 1.988×10^30 kg,P = 30 сут = 30·86400 s = 2.592×10^6 s.Вычисление даёт
a ≈ 2.8×10^10 m ≈ 0.188 AU.
Также в радиусах звезды:
a / R⋆ ≈ 2.8×10^10 / 6.96×10^8 ≈ 40.4 R⋆.
Итого: полуось около 0.19 а.е. 2.8⋅1010м~2.8·10^10 м 2.8⋅1010м, т.е. ≈40 радиусов звезды.
Краткое резюме:
Rp ≈ 0.1 R☉ ≈ 10.9 R⊕ ≈ 0.97 R_J,a ≈ 0.19 AU ≈ 40 R⋆,при допущении M⋆ = 1 M☉, центрального транзита и круговой орбиты.