Кратко — сначала численные оценки по простому приближению, затем физический механизм удаления астероидов.

1) Периоды и полуоси $простыеприближенияпотретьемузаконуКеплера$

Третий закон Кеплера $взвешеннодляСолнца$: P^2 ∝ a^3, при этом для двух тел вокруг Солнца a1/a2 = $P1/P2$^$2/3$.Возьмём параметры Юпитера: P_J ≈ 11.86 года, a_J ≈ 5.20 а.е.

Резонанс 3:1 $астероидделает3оборота,когдаЮпитер—1$:

Период астероида P = P_J / 3 ≈ 11.86 / 3 ≈ 3.95 года.Полуось a = a_J · $P/P_J$^$2/3$ = 5.20 · $1/3$^$2/3$.
$1/3$^$2/3$ ≈ 0.4805, поэтому a ≈ 5.20·0.4805 ≈ 2.50 а.е.
$Этосовпадаетсизвестнымположением3:1—\approx 2.5а.е.$

Резонанс 2:1 $астероидделает2оборотана1оборотЮпитера$:

P = P_J / 2 ≈ 11.86 / 2 ≈ 5.93 года.a = 5.20 · $1/2$^$2/3$. $1/2$^$2/3$ ≈ 0.6300, поэтому a ≈ 5.20·0.6300 ≈ 3.28 а.е.
$ЭтосоответствуетHecuba‑пробелу\approx 3.27–3.28а.е.$

2) Физический механизм формирования пробелов Кирквуда $качественно$

Что даёт резонанс: в среднем‑движущемся приближении возмущение от Юпитера содержит гармоники, чьи фазы повторяются каждый p и q оборотов. В p:q резонансе определённая комбинация орбитальных углов $резонантныйаргумент,например\phi =p{\lambda }_{a}st-q{\lambda }_J-(p-q){\varpi }_{a}stдляпростыхслучаев$ меняется медленно. Если этот аргумент «лезет в резонанс» $либрация$, возмущения складываются систематически, а не усредняются.

Последствие: суммарный эффект — систематическое изменение орбитальных элементов астероида, прежде всего эксцентриситета e $ииногданаклоненияi$. Для многих резонансов наиболее важен рост e при почти неизменной полусовой оси a.

Нелинейность и хаос: приближённая модель резонанса — уравнение «маятника» $пендулоподобныйгамильтониан$ с разделяющей линией $separatrix$ между «лобовой» $libration$ и «пролётной» $circulation$ траекториями. Малые возмущения и взаимодействие нескольких гармоник $включаясекулярныерезонансы$ приводят к разрушению регулярных островков и к перекрытию резонансов $критерийЧирикова$ — возникает хаотическая диффузия в пространстве орбитальных элементов.

Эволюционный путь к удалению:

Астероид либо изначально вблизи резонанса, либо медленно «подъезжает» к резонансу из‑за негравитационных эффектов $например,Yarkovsky$ или многолетних возмущений.При попадании в область резонанса резонантные гармоники начинают кумулятивно менять e. В пределах резонансного островка e может быстро увеличиваться $напромежутках10^5–10^7летвзависимостиотрезонансаиначальныхусловий$.Растущий e приводит к тому, что перигелий или афелий астероида приближаются к орбитам других планет $Марс,Земля,Юпитер$. Это открывает путь к близким сближениями.Близкие сближения приводят к резким рассеяниям орбит: изменение a, e, i; астероид может быть выброшен в другую часть пояса, захвачен на сильно орбиту пересечения с Землёй $NEA$, упасть на планету или быть выброшен из системы.В результате подобных процессов долговременная плотность астероидов на самих резонансных полуосях оказывается сильно пониженной — формируется пробел в распределении $Kirkwoodgap$.

Конкретно для 3:1 и 2:1: эти резонансы с Юпитером достаточно сильны $юпитерианскаямассаипорядокрезонансадаютзначительнуюширинурезонанснойзоны$. 3:1 особенно эффективен в увеличении e и снабжает популяцию околоземных астероидов; 2:1 даёт крупные нестабильные области $вокруг\approx 3.27а.е.—Hecuba‑пустота$, но там также могут существовать устойчивые островки и сложная структурированность $стабильныеклетки+хаотическиезоны$.

3) Дополнительные замечания

Ширина и характер резонанса зависят от массы возмущающего тела $Юпитера$, порядка резонанса $п-q$ и начального e. При больших e структура резонанса усложняется, появляются дополнительные гармоники.Резонансы не только вычищают $делаютпустыми$ зоны — некоторые резонансы $например1:1Trojans$ удерживают материю; поведение зависит от деталей гамильтонова потока.Наблюдаемая миграция астероидов через резонансы $включаявлияниеYarkovsky$ считается одним из главных механизмов поставки астероидов из пояса в внутренняя Солнечную систему.

Если нужно, могу:

показать более формальное разложение возмущающей функции и явление резонансного аргумента,оценить ширину резонансных зон в полуоси при заданных e,привести численные оценки типичных времён для e‑накачки в 3:1 и 2:1.