Краткая модель и оценка риска (объекты $D>100$ м) — шаги, уравнения, входные параметры, наблюдательные лимиты и стратегии предотвращения.
1) Обозначения и идея модели
- $D$ — диаметр объекта; интересуемся $D\ge 100$ м.
- Функция плотности по размерам (количество на диаметр): $n(D)$ (число объектов на единицу диаметра). Часто используют степенной закон:
$$n(D)=k{D}^{-\alpha },D\ge D_{\min }=100\mathrm{m}.$$ - Интринсивная годовая вероятность столкновения для объекта размера $D$: $p(D)$ (единиц: год${}^{-1}$ на объект).
- Полная средняя частота столкновений для всех $D\ge D_{\min }$:
$$\lambda ={\int }_{D_{\min }}^{\infty }n(D)p(D)dD.$$ - Вероятность по крайней мере одного столкновения за период $T$ (ПОИ):
$$P_{\ge 1}(T)=1-\exp (-\lambda T).$$
2) Учет наблюдательных лимитов (комплектность и обнаружение)
- Комплектность (доля обнаруженных объектов размера $D$ к моменту $t$): $C(D,t)\in [0,1]$. Тогда «непредвиденная» (необнаруженная заранее) часть, оставляющаяся для неожиданных ударов: $1-C(D,t)$.
- Корректировка частоты с учётом обнаружения и возможного предотвращения:
$${\lambda }_{\mathrm{res}}(t)={\int }_{D_{\min }}^{\infty }n(D)p(D)[1-C(D,t)s_{\mathrm{mit}}(D,t)]dD,$$ где $s_{\mathrm{mit}}(D,t)$ — средняя эффективность смягчения (вероятность предотвращения столкновения, если объект обнаружен к моменту $t$).
- Простая модель роста комплектности (экспоненциальная или логистическая):
$$C(D,t)=1-\exp (-\beta (D)t),$$ где $\beta (D)$ — скорость обнаружения (год${}^{-1}$) для объектов размера $D$.
3) Модель размера–частоты и параметры (типичные допущения)
- Степень: $\alpha \approx 2.3÷2.8$ (обычно $\sim 2.5$). Постоянная $k$ выбирается так, чтобы получить заданное число объектов больше порога:
$$N_{>D_{\min }}={\int }_{D_{\min }}^{\infty }n(D)dD=\frac{k}{\alpha -1}{D}_{\min }^{1-\alpha }.$$ - Типичное оценочное число для $D\gtrsim 100$ м: $N_{>100\mathrm{m}}\sim 2\cdot 10^4÷5\cdot 10^4$ (в модельном примере возьмём $3\cdot 10^4$).
- Интринсивная вероятность столкновения на объект: типично $p(D)$ медленно зависит от $D$ для NEO-орбит и порядка $10^{-9}÷10^{-8}$ год${}^{-1}$ на объект. Для простоты можно взять постоянную $p_0$ как приближение: $p(D)\approx p_0$.
4) Пример численной оценки (приближённый расчёт)
- Пусть $N_{>100}=3\cdot 10^4$, $p_0=3\cdot 10^{-9}{\mathrm{yr}}^{-1}$. Тогда
$$\lambda =N_{>100}{p}_0=3\cdot 10^4\times 3\cdot 10^{-9}=9\cdot 10^{-5}{\mathrm{yr}}^{-1}.$$ - За $T=100$ лет:
$$P_{\ge 1}(100)=1-\exp (-\lambda T)\approx 1-\exp (-9\cdot 10^{-3})\approx 9\cdot 10^{-3}(\approx 0.9\%).$$ - Чувствительность: при $N=2\cdot 10^4$, $p_0=1\cdot 10^{-9}$ получим $P\sim 0.2\%$; при $N=5\cdot 10^4$, $p_0=5\cdot 10^{-9}$ — $P\sim 2.5\%$. Поэтому реалистичный диапазон порядка $0.2\%-2.5\%$ за 100 лет в зависимости от неопределённостей.
5) Учёт обнаружения и смягчения в числах
- Если текущая комплектность для $D\ge 100$ м $C_{100}(0)\sim 0.3$ и ожидаемая через $T=10$ лет станет $C_{100}(10)\sim 0.9$, и если эффективность смягчения при раннем обнаружении $s_{\mathrm{mit}}\approx 0.9$, то приведённая оставшаяся частота уменьшается:
$${\lambda }_{\mathrm{res}}\approx \lambda [1-C_{100}{s}_{\mathrm{mit}}].$$ Для примера: ${\lambda }_{\mathrm{res}}\approx \lambda (1-0.9\times 0.9)=\lambda \times 0.19$ — снижение риска более чем в 5 раз по сравнению с полной неизвестностью.
6) Наблюдательные лимиты (практические соображения)
- Связь диаметра $D$ и абсолютной величины $H$:
$$D=\frac{1329}{\sqrt{p_V}}10^{-H/5}\Rightarrow H(D)=5{\log }_{10}\left(\frac{1329}{D\sqrt{p_V}}\right).$$ Для $D=100$ м и албедо $p_V=0.14$ даёт $H\approx 22.8$ — значит видно обязан быть достигнут предел по $H\sim 23$ (в благоприятных условиях).
- Ограничения: покрытие неба, солнечная фаза, скорость движения, объекты с низкой альбедо и высокоэксцентричные орбиты труднее обнаружить. Ранние предупреждения зависят от орбитальной геометрии (встречные/подобные направления).
7) Стратегии предотвращения (и влияние на модель)
- Дефлекция (кинетический импактор, гравитационный трактор): требует времени (месяцы—годы) и обнаружения с достаточным запасом; эффективность $s_{\mathrm{defl}}(D,t_{\text{lead}})$ близка к 1 при $t_{\text{lead}}$ больше некоторого $T_{\text{defl}}(D)$.
- Быстрое реагирование: кинетический импактор с годами предопределяет успешность, для $D\sim 100$ м типичный $T_{\text{defl}}$ — от месяцев до нескольких лет в зависимости от требуемого $\Delta v$ и орбиты.
- Экстренные меры (эвакуация, зональное укрытие): полезны при коротком предупреждении (дни—недели), не предотвращают столкновение, но снижают жертвы/ущерб.
- Ядерные опции и фрагментация: спорные по последствиям; фрагментация может увеличить риск рассеянного удара, поэтому моделируется отдельной вероятностью успешной нейтрализации.
- В модели это отражается через $s_{\mathrm{mit}}(D,t_{\text{lead}})$ и распределение $t_{\text{lead}}$ для обнаруженных объектов.
8) Рекомендуемый рабочий алгоритм модели
- Задать $n(D)$ (с оценкой неопределённости), $p(D)$ (или $p_0$), и $C(D,t)$ (на основе текущих/планируемых оптических и инфракрасных обзоров).
- Рассчитать $\lambda$ и $P_{\ge 1}(T)$ без вмешательства.
- Ввести модель обнаружения и распределение временем предупреждения $f(t_{\text{lead}}|D)$ для обнаруженных объектов; задать $s_{\mathrm{mit}}(D,t_{\text{lead}})$.
- Интегрировать для остаточной частоты ${\lambda }_{\mathrm{res}}$ и получить скорректированную вероятность.
- Провести анализ чувствительности по $N_{>100}$, $\alpha$, $p_0$, $C(D,t)$ и $s_{\mathrm{mit}}$.
9) Выводы и практические рекомендации
- При разумных допущениях вероятность как минимум одного удара $D>100$ м в ближайшие $100$ лет порядка долей процента до нескольких процентов; точный диапазон сильно зависит от числа неизвестных объектов и их орбит.
- Самый эффективный путь снижения риска: повысить комплектность обнаружения $C(D,t)$ для $D\ge 100$ м (массовые оптические/инфракрасные обзоры, телескопы в пространствах внутри орбиты Земли), плюс инвестиции в демонстрационные миссии дефлекции и оперативную систему предупреждения/эвакуации.
- Модель должна включать распределение по размерам, реальные функции обнаружения и модель эффективности смягчения; для принятия политических решений полезен сценарный анализ с диапазонами параметров.
Если нужно, могу: а) привести компактный код-псевдокалькулятор (псевдопитон) для численного интегрирования ${\lambda }_{\mathrm{res}}$ и чувствительности; б) сделать пример с конкретными функциями $C(D,t)$ и $s_{\mathrm{mit}}(D,t_{\text{lead}})$ и расчётом для текущего и улучшенного мониторинга.