Пример: резонанс Плутона с Нептуном 3:2 (отношение средних движений $n_P:n_N=3:2$). Ниже — набор аналитических оценок и численных экспериментов для исследования устойчивости резонанса при миграции планет, диссипации и влиянии малых тел.
А. Аналитические оценки (что вычислить/оценить)
- Резонансная гамильтониана в приближении «маятника» (один резонансный угол $\varphi$):
$$H=\frac{1}{2}A{J}^2+B\cos \varphi ,$$ где $J$ — каноническая импульсная переменная, параметры $A,B$ вычисляются через массы и орбиты. Из неё вывести ширину и частоту ливраций.
- Ширина резонанса по полуоси:
$$\frac{\Delta a}{a}\sim C\sqrt{\mu e},$$ где $\mu =m_{\mathrm{pert}}/M_{\odot }$, $e$ — эксцентриситет, $C$ — числовой фактор порядка 1 для первого порядка резонансов.
- Частота (и период) ливрации:
$${\omega }_{\mathrm{lib}}\sim n\sqrt{\mu f(e)},T_{\mathrm{lib}}=\frac{2\pi }{{\omega }_{\mathrm{lib}}},$$ где $n$ — среднее движение, $f(e)$ — функция силы резонанса.
- Адиабатичность миграции (критерий удержания/захвата):
τa≡∣aa˙∣≫Tlib. \tau_a\equiv\left|\frac{a}{\dot a}\right|\gg T_{\rm lib}.
τa ≡ a˙a ≫Tlib . Если выполняется, эволюция резонанса идёт адиабатически; иначе возможен переход через сепаратрису и утрата резонанса.
- Вероятность захвата при конвергентной миграции: в адиабатическом/малом начальном $e$ пределе вероятность стремится к $1$; при быстром миграционном темпе она уменьшается. (Использовать формулы Goldreich–Peale/Borderies для точной оценки при заданных $A,B,\dot{a}$.)
- Влияние диссипации: оценить времена затухания ${\tau }_e$ и ${\tau }_i$ (для $e$ и $i$). Баланс между накачкой резонансом и демпфированием определяет стационарную амплитуду:
$${\dot{J}}_{\mathrm{res}}+{\dot{J}}_{\mathrm{damp}}=0.$$ - Хаотическая диффузия и перекрытие резонансов (Chirikov): рассчитать расстояние между соседними резонансами $\Delta a_{\mathrm{sep}}$ и сравнить с суммарной шириной $\Delta a_{\mathrm{width}}$. Порог перекрытия при $\Delta a_{\mathrm{width}}\gtrsim \Delta a_{\mathrm{sep}}$ — резонанс нестабилен.
- Оценки времени разрушения: характерное время рассеяния/выхода из резонанса через диффузию можно оценить как $t_{\mathrm{diff}}\sim (\Delta J{)}^2/D$, где $D$ — коэффициент диффузии (оценить через случайные возмущения от планетезималей/столкновений).
Б. Численные эксперименты (порядок и набор проб)
1) Базовый N‑body без диссипации
- Интегратор: симплектический (WHFast) или адаптивный высокоточн. (IAS15) при включении неконсервативных сил.
- Временной шаг: $\Delta t\lesssim \frac{1}{20}$ минимального орбитального периода.
- Продолжительность: несколько ${\tau }_a$ или минимум $10^3{T}_{\mathrm{lib}}$.
- Измерения: резонансный угол $\varphi$, амплитуда ливрации, $e(t),i(t),a(t)$, сохранение интегалов (для проверки).
2) Миграция планет (детерминированная)
- Добавить внешнюю силу/туркемп $\dot{a}$ и демпфирование ${\tau }_e,{\tau }_i$.
- Провести серию по ${\tau }_a$ (от $\ll T_{\mathrm{lib}}$ до $\gg T_{\mathrm{lib}}$) и по начальным $e,i$.
- Измерять: вероятность захвата, изменение амплитуды, сдвиг центра ливраций.
3) Диссипация (газ/планетезимали)
- Модель газового диска: силы типа $\dot{a}\propto -a/{\tau }_a$, $\dot{e}\propto -e/{\tau }_e$. Варьировать ${\tau }_e/{\tau }_a$.
- Модель планетезималей: (a) представление диска как гладкая торсионная сила; (b) прямой N‑body для N планетезималей (стохастические возмущения).
- Оценивать устойчивость при разном соотношении ${\tau }_e/{\tau }_a$.
4) Множественные малые тела (стохастика)
- Выполнить ансамбли расчётов с разным количеством и массой планетезималей; отслеживать флуктуации $\delta L$ (момента импульса).
- Измерять коэффициент диффузии $D$ по последовательности $⟨(\Delta J{)}^2⟩\sim 2Dt$.
5) Чувствительность к возмущениям
- Ввести случайные приливные/столкновительные импульсы и исследовать время выхода из резонанса.
6) Диагностика хаоса
- Вычислять максимальный Ляпунов показатель, MEGNO, частотный анализ (frequency map). Строить поверхности Пуанкаре для гамильтонианного приближения.
В. Параметры, сканирование и статистика
- Сканировать по ${\tau }_a$ (например логарифмически от $10^{-2}{T}_{\mathrm{lib}}$ до $10^3{T}_{\mathrm{lib}}$).
- Сканировать по ${\tau }_e/{\tau }_a$ (влияние демпфирования).
- Варьировать массу диска/плотность планетезималей, амплитуды стохастических импульсов.
- Для каждого набора проводить многореализационный ансамбль (сходимость статистик: захват/выход/амлитуда).
Г. Метрики устойчивости (что считать «устойчивым»)
- Сохранение резонанса: угол $\varphi$ ливрирует на всё время расчёта.
- Порог амплитуды: амплитуда ливрации остаётся ниже заданной (например $<$ 90% ширины).
- Время выхода $t_{\mathrm{surv}}$ и медиана/распределение по ансамблю.
- Отсутствие экспоненциального роста Ляпунова (или MEGNO указывающий на регулярность).
Примерный рабочий план исследования
1. Вывести и сравнить аналитические оценки $T_{\mathrm{lib}}$, $\Delta a$, критерий адиабатичности ${\tau }_a\gg T_{\mathrm{lib}}$.
2. Провести N‑body-серии с детерминированной миграцией для сканирования ${\tau }_a$ — получить границы надежного захвата/удержания.
3. Добавить демпфирование ${\tau }_e$ и сравнить стационарные амплитуды с аналитической балансной оценкой.
4. Моделировать маленькие тела (гладко и как N‑body) для оценки $D$ и времени диффузии.
5. Использовать хаос‑диагностику (Lyapunov/MEGNO/frequency map) для карт зоны резонанса и локальной стабильности.
Эти шаги позволят связать аналитические критерии (ширина, $T_{\mathrm{lib}}$, адиабатичность, перекрытие резонансов) с результатами численных экспериментов и дать количественную оценку устойчивости резонанса при миграции, диссипации и влиянии малых тел.