Коротко — модель, уравнения для максимальной энергии и наблюдательные предсказания.
1) Теоретическая модель (концепция)
- Основной механизм: диффузионное ускорение на ударе (Fermi I, first‑order DSA) + усиление магнитного поля через турбулентность (резонансная и нерезонансная, напр., Bell instability). Частицы многократно пересекают удар, рассеиваясь на магнитной турбулентности; коэффициент рассеяния задаёт скорость ускорения (Bohm = предельно эффективное рассеяние).
- Параметры: скорость удара $u_s$, магнитное поле в ударной области $B$ (включая усиление), плотность среды $\rho$, возраст остатка $t_{\mathrm{age}}$, параметр эффективности рассеяния $\eta$ (средний свободный путь $\lambda =\eta r_g$; Bohm — $\eta \sim 1$).
2) Время ускорения и диффузия (основные формулы)
- Общее приближение:
$$t_{acc}\approx \eta \frac{D}{u_s^2},$$ где $D$ — коэффициент диффузии.
- В приближении Bohm:
$$D_{\mathrm{Bohm}}=\frac{1}{3}{r}_{g}c=\frac{1}{3}\frac{E}{ZeB}c.$$ Отсюда
$$t_{acc}\approx \eta \frac{Ec}{3ZeB{u}_s^2}.$$
3) Ограничения на максимальную энергию $E_{\max }$ Максимальная энергия определяется минимальным из ограничений: возраст, потеря энергии (для электронов), геометрический уход (escape).
- Возрастное ограничение (ускорение за время $t_{\mathrm{age}}$):
$$E_{max,age}\simeq \frac{3ZeB{u}_s^2{t}_{\mathrm{age}}}{\eta c}.$$
- Геометрическое (escape) — ограничение размером $R$ удара (gyroradius не больше $\zeta R$, $\zeta \lesssim 1$):
$$E_{max,esc}\simeq ZeB\zeta R.$$
- Потеря на синхротронное излучение (важно для электронов): приравниваем $t_{acc}=t_{syn}$, где
$$t_{syn}=\frac{6\pi m_e^2{c}^3}{{\sigma }_T{B}^{2}E}.$$ Решение даёт
$$E_{max,syn}\simeq \sqrt{\frac{18\pi e{m}_e^2{c}^2{u}_s^2}{\eta {\sigma }_{T}B}}\propto \frac{u_s}{\sqrt{\eta B}}.$$
- Для протонов/ионов потери не столь важны; доминируют возраст/размер и эффективность усиления $B$.
4) Роль магнитного усиления
- В нестационарном режиме CR‑ток может приводить к усилению поля. Оценочная связь (баланс давления):
$$\frac{\delta B^2}{8\pi }\sim {\xi }_{CR}\rho u_s^2\Rightarrow B_{\mathrm{amp}}\sim \sqrt{8\pi {\xi }_{CR}\rho }{u}_s,$$ где ${\xi }_{CR}$ — доля энергии удара в CR. Усиление $B$ повышает $E_{\max }$ по формулам выше (особенно важно для достижения „PeV“ для протонов).
5) Пример численно (оценка)
Возьмём $u_s=5\times 10^{8}cm/s$ ($\sim 5000km/s$), $B=100\mu \mathrm{G}$, $t_{\mathrm{age}}=10^3\mathrm{yr}$, $Z=1$, $\eta =1$:
$$E_{max,age}\simeq \frac{3eB{u}_s^2{t}_{\mathrm{age}}}{c}\sim 2\times 10^{16}\mathrm{eV}.$$ При $\eta =10$ или меньшем $B$ значение упадёт примерно на порядок → несколько $10^{15}\mathrm{eV}$. Для электронов синхротронные потери обычно ограничивают $E$ на уровне десятков $\mathrm{TeV}$ при таких $B$.
6) Связь частиц и наблюдаемых излучений (диагностика модели)
- Радио (синхротрон): общий спектр и спектральный индекс $s$ отображает спектр ускоренных электроскопов; поляризация и морфология дают информацию о структуре поля и турбулентности.
- Рентген (синхротрон от высокоэнергичных электронов): наличие нетеплового рентгеновского синхротронного излучения и его энергонезависимый край (cutoff) указывает на $E_{e,\max }$. Узкие «филаменты» в рентгене позволяют оценить $B$ и $D$ через ширину $l\sim \sqrt{D{t}_{syn}}$.
Формула для критической частоты:
$${\nu }_c\simeq \frac{3eB}{4\pi m_{e}c}{\gamma }^2,E_{\gamma }=h{\nu }_c.$$ - Гамма‑лучи (GeV–TeV): два канала — лептонный (Inverse Compton, Bremsstrahlung) и хадронный (π^0→2γ). Характерные признаки:
- Хадронный сигнал: спектральный «π^0‑пик» около $\sim 100\mathrm{MeV}$ в плотном виде, корреляция γ‑повышения с плотностью газа (молекулярные облака).
- Обрезание спектра в TeV указывает на $E_{p,\max }$ или $E_{e,\max }$; измерение cutoff энергий (CTA, HESS, MAGIC, VERITAS) — ключевое.
- Взаимосвязь наблюдений и модели:
- Если рентгеновские филаменты тонкие и требуют $B\gtrsim 100\mu \mathrm{G}$, это поддерживает усиление и позволяет объяснить большие $E_{p,\max }$.
- Наличие мощного TeV γ‑излучения с морфологией, совпадающей с распределением газа, указывает на эффективное ускорение протонов (хадронный сценарий).
- Спектральные индексы и их изменение вдоль шока проверяют предсказания DSA (например, при сильном ударе предел дает диффузионный спектр $f(E)\propto E^{-2}$ в тест‑частице).
7) Наблюдательные тесты, которые подтвердят модель
- Измерение cutoff в спектре γ‑лучей (TeV) и соответствие его $E_{max}$ из DSA‑формул.
- Рентгеновские синхротронные филаменты: определение $B$ и диффузии (Bohm vs. более медленная), сравнение с требуемым $B_{\mathrm{amp}}$.
- Корреляция гамма‑интенсивности с плотностью газа (сатурация π^0) — подтверждение ускорения нуклонов.
- Поляризация радиосигнала и её масштабные вариации — индикатор турбулентности и структуры поля.
- Временная эволюция спектра (по возрасту остатка) — переход ограничений от возрастного к геометрическому/потерянному, ожидаемый с падением $u_s$ и изменением $B$.
Краткое резюме: модель DSA + усиленное магнитное поле (Bell/турбулентность) даёт формулы для $t_{acc}$ и трёх предельных энергии ($E_{max,age}$, $E_{max,esc}$, $E_{max,syn}$). Основные наблюдательные проверки — спектральные отсечения в γ (Fermi, CTA), рентгеновские синхротронные фитили (Chandra, XMM, NuSTAR), и корреляции γ с газом (молекулярные облака) — вместе позволяют отличить хадронный и лептонный сценарии и оценить $B$, $\eta$, $u_s$, $t_{\mathrm{age}}$.