Кратко и по делу.
Рекомендации по методам
- Для многоцентровой планетной задачи без частых близких сближений лучше всего — симплектические фиксированным шагом интеграторы, в первую очередь варианты Wisdom–Holman (WH, mixed‑variable symplectic, MVS): они сохраняют симплектическую структуру и дают ограниченную (не секулярную) ошибку энергии. Хорошие реализации: WHFast (REBOUND), SWIFT/W H M, SABA/SBABA и высоко порядковые symplectic correctors (Laskar & Robutel).
- Если ожидаются редкие близкие сближения — гибридные схемы (MERCURY: WH + Bulirsch–Stoer при сближениях). Минус: переключение ломает симплектичность в момент перехода и может вносить секулярные ошибки; нужно аккуратно настраивать порог.
- Для очень высокой точности (и/или при частых сближениях) — адаптивные высокоточные несимплектические методы: IAS15 (Gauss–Radau, REBOUND) или Bulirsch–Stoer. Они дают контролируемую локальную ошибку и малый глобальный накопленный отказ, но не сохраняют симплектическую структуру, поэтому на миллиардные сроки часто хуже в статистике длинного времени.
- При близких столкновениях/перестановках полезны регуляризации (KS‑преобразование, Chain regularization) или алгоритмы с разделением частиц по иерархии (Jacobi/Poincaré координаты).
Что именно сохраняют/не сохраняют
- Симплектические схемы сохраняют симплектную форму (покоординатную структуру) и, благодаря backward error analysis, фактически интегрируют близкий «модифицированный» Гамильтониан $$H_{\mathrm{eff}}=H+h^p{H}_1+h^{p+1}{H}_2+\dots$$ поэтому энергия осциллирует вокруг своего среднего без линейного роста — амплитуда ошибок энергии типично $O(h^p)$.
- Общая энергия и момент импульса в симплектическом интеграторе не сохраняются точно, но ошибки остаются ограниченными и не растут монотонно; в несимплектических схемах ошибка энергии может демонстрировать секулярный рост.
- Вариационные инварианты (например, угловой момент) лучше контролируются при использовании формулировок в хорошо подобранных координатах (Jacobi/Poincaré).
Как выбирать шаг $h$ - Для WH‑типа схем рекомендуют фиксированный шаг, значительно меньше минимального орбитального периода: типично $$h\lesssim \frac{P_{\min }}{20÷50}.$$ Для Меркурия ($P\approx 0.24$ года) это даёт дни — несколько суток до пары недель в зависимости от требуемой точности.
- Энергетическая ошибка масштабируется как $\Delta E\sim C{h}^p$ (где $p$ — порядок схемы), а число шагов $N=T/h$. Круговая ошибка из-за округлений растёт примерно как $\sqrt{N}{\epsilon }_{\mathrm{mach}}$.
Оценка ошибок и надёжности на миллиарды лет
- Backward error analysis: симплектический интегратор фактически решает $H_{\mathrm{eff}}$ — оцените отличие $\Vert H_{\mathrm{eff}}-H\Vert \sim O(h^p)$.
- Мониторьте консервативные величины: полная энергия $E$, суммарный угловой момент $\mathbf{L}$. В симплектическом случае ожидайте осцилляции без тренда; тренд — признак проблемы.
- Обратная проверка (time‑reversibility): интегрируйте вперёд на $T$, затем назад на $T$; отклонение даёт меру совокупных численных ошибок.
- Сходимость по шагу: проведите серии с разными $h$ и оцените масштабирование ошибок $\propto h^p$ (Richardson‑типа проверка).
- Ляпуновское поведение: динамика Солнечной системы частично хаотична. Расходимость малых возмущений $\delta (t)\sim {\delta }_0{e}^{t/t_L}$ с типичным $t_L\sim$ несколько Мa для внутренней системы; после нескольких десятков $t_L$ детерминистическое предсказание теряет смысл. Для миллиардов лет нужно статистическое моделирование ансамбля начальных условий и оценка вероятностей (Laskar, Batygin и др.).
- Статистическая проверка: запускают сотни—тысячи реализаций с малыми случайными возмущениями начальных условий и изучают распределения результатов (вероятность крупного изменения орбит и т. п.).
- Часто используют частотно‑временной анализ (Laskar’s frequency map analysis) для выявления численной диффузии и неверной модальной структуры.
Практический рецепт для миллиардных лет
1. Если сближений мало: используйте WH‑тип симплектический интегратор (WHFast) с симплектическими корректорами; фиксированный шаг $h$ выбран по правилу выше; проводите проверки с уменьшенным $h$.
2. Если нужны отдельные высокоточные проверки/близкие подходы — используйте гибрид (MERCURY) или IAS15 для сравнений; но для статистики долгих сроков опирайтесь на симплектические результаты.
3. Следите за $\Delta E(t)$ и $\Delta \mathbf{L}(t)$; делайте обратные интеграции и серии по шагам; используйте ансамбли начальных условий и оценку Ляпунова.
4. Для миллиардов лет применяйте двойную (extended) или quad‑precision, либо компенсированную сумму, чтобы уменьшить накопление ошибки округления.
5. Для задач исключительно секулярной эволюции можно использовать усреднённые (secular) модели и частотный анализ — значительно экономнее и более информативно для статистики.
Ключевые идейные выводы
- Для долгосрочной статистики: симплектический фиксированный шаг + маленький $h$ + контроль по энергии/моменту + ансамбли начальных условий.
- Для индивидуальных высокоточных траекторий с частыми сближениями: гибридные/адаптивные высокопорядковые методы (но смотреть на потерю симплектичности).
- Всегда проводить сходимостные тесты, обратную интеграцию и ансамблевый анализ из‑за хаотичности системы.