Кратко — какие физические критерии устойчивости смотреть и какие наблюдения подтвердят долговечность трояна.
Критерии устойчивости
- Массовое соотношение планета/звезда (Gascheau): в классической плоской круговой задаче трёх тел линейно устойчивы точки $L_4,L_5$, если
$$\mu =\frac{m_p}{m_{\star }+m_p}<{\mu }_c=\frac{1}{2}(1-\sqrt{\frac{23}{27}})\approx \mathrm{0.03852.}$$ Для $m_p\ll m_{\star }$ это почти $\mu \approx m_p/m_{\star }$.
- Амплитуда либрации: устойчивый «троянский» режим — малая танцующая (tadpole) либрация вокруг $60^{\circ }$ впереди/позади планеты; большие амплитуды переходят в horseshoe/неустойчивые траектории (сепаратриса при большой угловой амплитуде).
- Эксцентриситет и наклонение: малая эксцентриситет/наклонение повышают устойчивость; при больших $e,i$ появляются резонансы и хаос. Для приближённых оценок требуется численное исследование конкретной системы.
- Гравитационные возмущения от других планет: наличие крупных соседей, близкие средне- или сечённо-двойные резонансы (mean‑motion и secular) могут разрушать троянов; важна изоляция от сильных резонансных взаимодействий.
- Хилл‑радиус и ширина коорбитального пояса: характерная масштабная мера
$$R_H=a_p(\frac{m_p}{3m_{\star }}{)}^{1/3},$$ коорбитальные возмущения и зона возможных стабильных со‑орбитальных траекторий связаны с $R_H$.
- Либрационная частота и период (малые колебания вокруг $L_4/L_5$):
$$\nu \simeq n\sqrt{\frac{27}{4}\mu },T_{\mathrm{lib}}=\frac{2\pi }{\nu },$$ где $n$ — среднее движение планеты. Сопоставление $T_{\mathrm{lib}}$ с временами возмущений и миграции важно для долговечности.
- Долговременные тесты: окончательное требование — положительная устойчивость в численных N‑body интеграциях на время, сравнимое с возрастом системы (Мой/Гой).
Какие наблюдения подтвердят долгожительство (практически — устойчивость)
- Повторяемая фазовая позиция ≈$60^{\circ }$ перед/за планетой в течение многолетних наблюдений:
- Транзиты: дополнительный транзит в фазе, смещённой на $\pm 60^{\circ }$ от транзита планеты; неизменяемость разницы фаз и стабильность глубины/периода.
- Если троян не в точном $60^{\circ }$, его либрационная фаза должна показывать периодические смещения с предсказуемым $T_{\mathrm{lib}}$.
- Транзитные времена (TTV): троян вызовет характерные TTVs планеты (коррелированные/антикоррелированные колебания); комбинированный анализ TTV+LC может оценить массу трояна и амплитуду либрации.
- Радиальная скорость (RV) и астрометрия: совместная подгонка RV+транзитов может выявить двухсоотношенный компонент на одной орбите (фаза ≈$60^{\circ }$); Gaia/дальняя астрометрия может дать ограничение на общую массу ко‑орбитали.
- N‑body моделирование данных: стабильная многообъектная подгонка, прошедшая тесты устойчивости (интеграции на $10^7-10^9$ лет, анализ MEGNO/лигировок), подтверждает долговечность. То есть наблюдения должны позволить построить модель, которая остаётся нехаотичной при длительном интегрировании.
- Отсутствие признаков сильных возмущений/сдвигов орбит со временем: постоянные элементы (а, e, i, libration amplitude) в пределах предсказанной эволюции, отсутствие быстрых флуктуаций/Lyapunov‑времён, малые изменения аргумента перицентра и долгот.
Резюме действий для подтверждения
1) измерить период и фазу кандидата (транзиты/RV/астрометрия); 2) оценить массы и $\mu$ (Gascheau); 3) определить либрационную амплитуду и $T_{\mathrm{lib}}$; 4) собрать долгосрочные наблюдения (годы) и сделать N‑body‑fit; 5) провести долгосрочные численные интеграции и показатели хаоса (MEGNO, Lyapunov). Если все пункты выполняются — высокая вероятность, что троян будет долгоживущим.