Задача (формулировка)
- Построить численную модель эволюции релятивистских начальных возмущений до современной большой‑масштабной структуры (галактики, скопления, сети) в выбранной космологической модели (например, $\Lambda$CDM) с заданными параметрами $\{{\Omega }_m,{\Omega }_b,{\Omega }_{\Lambda },h,n_s,{\sigma }_8,\dots \}$.
- Вычислить эволюцию плотностного и скоростного полей для тёмной материи, барионов и других компонент (нейтрино, излучение при необходимости), сформировать каталоги гало и синтетические наблюдаемые (кластера, карты слабого линзирования, спектры Lyman‑$\alpha$, redshift‑space clustering).
Фундаментальные уравнения (комовные координаты)
- Уравнение Vlasov–Poisson для безынтерактивной тёмной материи (кинетическое представление):
$$\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\mathbf{p}}{a^{2}m}\cdot {\nabla }_{\mathbf{x}}f-m{\nabla }_{\mathbf{x}}\Phi \cdot {\nabla }_{\mathbf{p}}f=0$$ - Гидродинамика барионов (непрерывность и уравнение Эйлера с расширением):
$$\frac{\partial \delta }{\partial t}+\frac{1}{a}\nabla \cdot ((1+\delta )\mathbf{v})=0,$$ $$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\frac{1}{a}(\mathbf{v}\cdot \nabla )\mathbf{v}+H\mathbf{v}=-\frac{1}{a}\nabla \Phi -\frac{1}{a\rho }\nabla p+\text{(heating/cooling, feedback)}.$$ - Пуассон для потенциальной ямы:
$${\nabla }^2\Phi =4\pi G{a}^2\bar{\rho }\delta .$$ - Начальные условия: спектр начальных возмущений $⟨\delta (\mathbf{k})\delta ({\mathbf{k}}^{\prime })⟩=(2\pi {)}^3{\delta }_D(\mathbf{k}+{\mathbf{k}}^{\prime })P(k)$, где $P(k)=A_s{k}^{n_s}{T}^2(k)$; генерация IC с Zel'dovich или 2LPT на $z_{\mathrm{init}}$.
Какие физические процессы включить
- Гравитация Ньютоновского предела на субгоризонтных масштабах (N‑body для DM).
- Расширение Вселенной: масштабный фактор $a(t)$, Hubble $H=\dot{a}/a$.
- Гидродинамика барионов: охлаждение/нагрев, химический состав (простые сети реакции), звездообразование, SN/AGN‑обратная связь (subgrid).
- Ионизирующее фоновое излучение и рекомбинация (реонизация при больших z).
- Нейтрино (линейные или частичные частичные частицы) если их масса значима для масштабов.
- Радиация и релятивистские эффекты там, где требуется (CMB‑лензирование, большая плотность на ранних фазах).
- Магнитные поля и MHD по необходимости (для специфических приложений).
Оправданные аппроксимации и их область применимости
- Ньютоновская гравитация в комовных координатах для масштабов значительно меньше горизонта ($k\gg aH$).
- Тёмная материя как_collisionless_ частицы (Vlasov → N‑body).
- Барионы как сплошная среда на масштабах, превышающих разрешение — малые масштабы описываются subgrid‑моделями.
- Радиация и коррекции Общей теории относительности обычно пренебрегают для $z\lesssim 100$ и масштабов крупных структур; при необходимости добавляют пост‑Фридмановы или fully relativistic коды.
- Нелинейность: использовать наносхемы (AMR, адаптивные сетки) или сглаживание частиц (SPH, moving‑mesh) — выбор методики влияет на малые масштабы.
- Быстрые приближения для больших ансамблей реализаций: COLA, PINOCCHIO, эмулаторы (обучаемые Р‑функциями).
Практические параметры моделирования (примерные соотношения)
- Блокировка: объём $L^3$ должен покрывать интересующие масштабы (BAO: $L\gtrsim$ несколько $\times 100$ Мпк), разрешение задаётся числом частиц $N$ и массой частицы
$$m_p={\Omega }_m{\rho }_{\mathrm{crit}}{\left(\frac{L}{N^{1/3}}\right)}^3.$$ - Сила разрешения (softening) $ϵ$ ≲ средний межчастичный интервал/20 для корректной динамики гало.
- Начальный $z_{\mathrm{init}}$ выбирают так, чтобы начальные флуктуации были в линейной области (обычно \(\,z_{\rm init}\sim 50\mbox{--}200\)).
Верификация и валидация модели (сравнение с наблюдениями)
- Статистики поля: сравнение спектра мощности $P(k)$ и корр. функции $\xi (r)$ (линейный и нелинейный диапазоны), биспеkтp, PDF плотности.
- Свойства гало: масс‑функция $n(M)$, внутренние профили (NFW), концентрации, массовая и спекровая функции. Сопоставление с наблюдаемыми кластерами, weak‑lensing массами, SZ.
- Кластерная и галактическая статистика: двухточечная функция галактик в реальном и redshift‑space, RSD‑параметры $f{\sigma }_8$, BAO‑шкала.
- Слабое линзирование: карта сходимости $\kappa$, спектр $C_{\ell }^{\kappa \kappa }$ и пики.
- Lyman‑$\alpha$ лес: поток‑спектр мощности на малых масштабах и его зависимость от температуры/реонизации.
- Наборы наблюдений для кросс‑валидации: Planck (CMB), SDSS/eBOSS, DES/KiDS/HSC, ACT/SPT (SZ), Euclid/Roman будущие.
- Методология валидации: построение mock‑каталогов (HOD/SHAM), прямое сравнение статистик, байесовское оценивание параметров/извлечение погрешностей, sensitivity analysis и получение доверительных интервалов; код‑to‑code сравнения и convergence tests (размер бокса, разрешение, параметры subgrid).
Контроль систематик и качество моделирования
- Серии тестов: разрешающая сходимость (по $N$, $ϵ$), независимость результатов от $z_{\mathrm{init}}$, чувствительность к subgrid‑параметрам.
- Калiбровка subgrid‑моделей на локальных наблюдаемых (звёздные массы, функции яркости), но с контролем перенастройки под другие статистики.
- Использование эмпирических эмульторов и MCMC/ABC для оценки неопределённостей параметров и систематик.
Краткий рабочий pipeline
1. Получить линейный $P(k)$ и $T(k)$ (CAMB/CLASS).
2. Сгенерировать IC (Zel'dovich/2LPT) на $z_{\mathrm{init}}$.
3. Эволюция N‑body + гидродинамика (или гибридный подход) до целевого $z$.
4. Пост‑обработка: поиск гало/мердж‑деревья, синтетические наблюдаемые.
5. Сравнение со статистиками наблюдений, оценка/калибровка и повторение.
Это минимально необходимый набор положений для постановки и проверки численного эксперимента по формированию структуры Вселенной на больших масштабах.