Коротко — логика и ключевые расчёты XIX в., которые привели к открытию Нептуна, и какие альтернативы проверялись.
1) Наблюдение аномалий
- Сбор длинной серии наблюдений Урана (особенно обработка в эфемеридах Буваря): обнаружены постоянные остатки (разности между наблюдаемыми и вычисленными координатами) в долготе и радиус-векторе Урана, которые не устранялись корректировками начальных элементов.
2) Гипотеза «внешнего возмущения»
- Предположение: отклонения вызваны гравитационным притяжением неизвестной планеты. Математическая модель движения Урана (гелиоцентрическая) с добавочной силой:
$$\ddot{\mathbf{r}}=-G{M}_{\odot }\frac{\mathbf{r}}{r^3}-G{m}_p\frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_p}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_p{|}^3},$$ где $\mathbf{r}$ — вектор Урана, ${\mathbf{r}}_p$ — вектор предполагаемой планеты, $m_p$ — её масса.
3) Преобразование в задачу об обычных возмущениях
- Ввели возмущающее (disturbing) потенци­альное:
$$R(\mathbf{r},{\mathbf{r}}_p)=G{m}_p(\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_p|}-\frac{\mathbf{r}\cdot {\mathbf{r}}_p}{r_p^3}),$$ что учитывает прямое воздействие на Уран и «косвенное» влияние через движение Солнца.
- Для далёкого возмущателя использовали разложение по степеням малого параметра $r/r_p$ (ряд Лежандра):
$$\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_p|}=\frac{1}{r_p}\sum _{n\ge 0}{\left(\frac{r}{r_p}\right)}^n{P}_n(\cos \psi ),$$ где $\psi$ — угол между $\mathbf{r}$ и ${\mathbf{r}}_p$.
4) Связь возмущений с изменениями орбитальных элементов
- Через уравнения Лагранжа для элементарных изменений (Lagrange planetary equations) выражали скорость изменения элементов $(a,e,i,\Omega ,\omega ,M)$ через частные производные $R$. Примерно:
$$\frac{da}{dt}=\frac{2}{na}\frac{\partial R}{\partial M},\text{и т.д.}$$ - Далее вычисляли влияние на наблюдаемую долготу $\lambda (t)$ и радиус-вектор как функции параметров возмутителя $(m_p,a_p,e_p,i_p,{\lambda }_p)$.
5) Обратная задача и линейная аппроксимация
- Остатки наблюдений $\Delta \lambda (t_k)$ аппроксимировали линейной комбинацией приращений параметров возмутителя:
$$\Delta \lambda (t_k)=\sum _j\frac{\partial \lambda (t_k)}{\partial p_j}\Delta p_j,$$ где $p_j$ — неизвестные параметры (масса, полурадиус орбиты, долгота и пр.).
- Собрали систему для многих моментов $t_k$ и решили её методом наименьших квадратов (нормальные уравнения):
$$(A^{\top }A)\Delta p=A^{\top }\Delta \lambda .$$
6) Итерации и уточнения
- Начальные приближения (Адамс и Леверрье использовали разные эвристики: предполагаемая полур-ось, круговая/слабая эксцентриситет и пр.).
- Итеративно уточняли $p_j$, пересчитывали возмущения Урана и сличали с наблюдениями, добиваясь уменьшения остатков.
- Леверрье получил предсказанную позицию на небе; Гале/д’Аррест обнаружили объект рядом с прогнозом (1846), затем построили орбиту нового тела и показали, что оно убирает основные остатки в эфемериде Урана.
7) Проверки, которые делали после открытия
- Сопоставление новых наблюдений Нептуна с предсказанной позицией и рассчитанными возмущениями Урана.
- Пересчёт влияния Нептуна и проверка, что остатки Урана действительно исчезают (или значительно уменьшаются) без внесения иных изменений в систему.
- Корректировка массы и орбиты Нептуна по новым наблюдениям, проверка самосогласованности модели.
Какие вычислительные приближения и упрощения использовались
- Удалённый возмущатель → ряд по $r/r_p$ (ведущие члены достаточно для оценки).
- Линейная аппроксимация чувствительности остатков к параметрам (первый порядок), итерации для учета нелинейности.
- Использование известных масс и орбит Юпитера/Сатурна; их поправки могли влиять, поэтому считали совместно или проверяли устойчивость решения при малых изменениях этих параметров.
Альтернативные объяснения, которые рассматривались или могли бы быть рассмотрены
- Систематические ошибки в наблюдениях (реперные звёзды, временные шкалы, инструментальные погрешности).
- Ошибки в эфемеридах (некачественная обработка старых наблюдений): исправление начальных элементов Урана.
- Неправильные значения масс уже известных планет (Юпитер, Сатурн) — изменённые массы могли дать похожие возмущения.
- Совокупность мелких тел (пояс объектов) вместо единой планеты — давало бы отличительную спектру возмущений (временная и пространственная структура).
- Неклассические силы/модификации Ньютона (в XIX в. обсуждались слабо) — в принципе проверялись как крайняя гипотеза.
- Наличие комет/временных возмущений — но кометы дали бы временные, нестабильные эффекты.
- Ошибочная теория тяжести — потребовала бы значительных отклонений в других хорошо подтверждённых случаях, что не наблюдалось.
Итог (коротко)
- Метод: от наблюдаемых остатков → предположение о внешнем возмущателе → запись возмущающей функции и линейное/итеративное решение обратной задачи по параметрам возмутителя → наблюдательный поиск по предсказанной позиции → обнаружение и последующее уточнение орбиты. Этот набор шагов (теория Ньютона + анализ возмущений + обратная задача + проверка наблюдением) и позволил открыть Нептун; альтернативы (ошибки в наблюдениях, неверные массы, множество мелких тел или изменение гравитации) проверялись и в основном отвергнуты после согласования модели с последующими наблюдениями.