1) Входные данные и предобработка
- Калибровка времён, длина базиса, вычитание систематик наблюдений (bias, flat, wavelength solution для спектров).
- Привязка астрометрии к стабильному опорному фрейму (галактические / экстрагалактические якоря). Оценивайте и сохраняйте ковариационные матрицы ошибок для каждой точки (включая корреляции между координатами RA/Dec и между измерениями в разное время).
2) Параметризация модельной задачи
- Для каждой звезды параметризуйте ось орбиты через классические элементы: $P,e,i,\Omega ,\omega ,T_0$ и физические глобальные параметры: масса ЧД $M_{\bullet }$, расстояние до центра $R_0$, системная радиальная скорость $v_{\mathrm{sys}}$. При необходимости добавляйте параметры для распределённой массы (см. ниже) и нулевых смещений опорной системы.
- Связь наблюдаемых с параметрами: угловая полуось $a^{\prime \prime }$ связана с истинной полуосью $a$ и расстоянием: $a^{\prime \prime }=a/R_0$. Массу из орбиты получаем как
$$M_{\bullet }=\frac{4{\pi }^2(a^{\prime \prime }{R}_0{)}^3}{G{P}^2}.$$
3) Модель орбит и преобразования в наблюдаемые
- Для каждого набора элементов строите положение и скорость в трёхмерном пространстве в моменты наблюдений с помощью уравнений Кеплера (решение уравнения эксцентриситету) или численного интегратора.
- Проекция на плоскость неба и на линию визирования даёт модельные RA/Dec и лучевую скорость (включая преобразование на системную скорость). Для релятивистских эффектов добавляйте поправки:
- гравитационный/потенциальный сдвиг частоты: $\Delta z_g\approx \frac{\Delta \Phi }{c^2}$,
- поперечный допплеровский сдвиг: $\Delta z_t\approx \frac{v^2}{2c^2}$,
- при необходимости 1PN аппроксимация в уравнениях движения (перицентральная прецессия).
- Полная модель RV учитывает: $v_{\mathrm{obs}}=v_{\mathrm{model}}+c(\Delta z_g+\Delta z_t)+v_{\mathrm{sys}}$.
4) Учёт распределённой (нечёрной) массы и расширенных моделей
- Дополнительно моделируйте плотность звёзд/темной материи вокруг центра, например:
$$\rho (r)={\rho }_0{\left(\frac{r}{r_0}\right)}^{-\gamma },$$ что вносит дополнительный потенциальный член в уравнения движения. Оценивайте необходимость этого компонента через сравнение правдоподобий / evidence.
5) Модель ошибок и систематик
- Полная ковариация наблюдений: для каждой точки используйте ковариационную матрицу $C$. Логарифм правдоподобия:
$$\log \mathcal{L}=-\frac{1}{2}\sum \left[(\mathbf{d}-\mathbf{m}{)}^T{C}^{-1}(\mathbf{d}-\mathbf{m})+\log |2\pi C|\right].$$ - Добавляйте "джиттер" для учёта недооценённых ошибок: $C\to C+s^{2}I$ (параметр $s$ оценивать).
- Систематики, которые нужно моделировать/маргинализовать: дрейф опорного фрейма (параметры сдвига и вращения), инструмен. искривления (карты поля), ошибочные точки из-за спутников/супрессии (confusion), шаблонные ошибки для RV (темплейт mismatch), единичные бинарные движения. Для коррелированных по времени систематик используйте гауссовские процессы (ядра по времени/положению) с параметрами амплитуды/коррел. времени, которые маргинализуются.
6) Подход к подгонке и вычисления
- Начальная оптимизация: нелинейный least-squares (Levenberg–Marquardt) для приближений параметров.
- Полная оценка неопределённостей: байесовская маргинализация через MCMC (emcee, ptemcee), HMC (Stan), или nested sampling (MultiNest, dynesty) для оценки evidence и мультимодальности.
- Совместная подгонка всех звёзд повышает точность $M_{\bullet }$ и $R_0$ (корреляция $M_{\bullet }$–$R_0$: при использовании угловых измерений $M_{\bullet }\propto R_0^3$).
7) Валидация модели и тестирование систематик
- Posterior predictive checks: генерируйте синтетические наборы по постериорному распределению и сравнивайте статистики остатков.
- Injection–recovery: добавляйте в реальные данные синтетические сигналы (разные $M_{\bullet }$, систематики) и проверяйте восстановление.
- Кросс-валидация по подмножествам звёзд/эпох чтобы выявлять влиятельные точки.
- Сравнение моделей: вычисляйте байесовское evidence или использ. AIC/BIC для выбора между точечной и расширенной массой, с/без релятивистских поправок.
8) Итогные оценки и отчётность
- Отдавайте результат как постериорное распределение для $M_{\bullet }$ и $R_0$ (медиана/мода и $68\%$/$95\%$ доверительные интервалы), показывайте корреляционные матрицы и важнейшие источники систематической неопределённости.
- Отдельно приводите ограничения от релятивистских эффектов и влияние расширенной массы и систематик (вклад в ошибку на $M_{\bullet }$).
9) Практические замечания и инструменты
- Для решения орбит: аналитический Kepler solver для связанных орбит + численный интегратор с 1PN (например, Runge–Kutta или symplectic для долгосрочных расчётов).
- Библиотеки: astropy, numpy/scipy, emcee/dynesty, george/celerite (GP), corner для отображения постериоров.
- Всегда моделируйте и маргинализуйте ньюансы опорного фрейма и джиттер — это обычно доминирующий источник систематической погрешности.
Коротко: строите физическую модель орбит (включая возможную расширенную массу и 1PN), переводите в наблюдаемые, задаёте правдоподобие с полной ковариацией наблюдательных ошибок и параметрами систематик (джиттер, дрейф фрейма, GP), и байесовски маргинализуете всю непараметрическую и систематическую неопределённость, проверяя стабильность результата через injection/recovery и posterior predictive checks.