Формула сферы Хилла для системы "астероид + спутник" вблизи орбиты вокруг Солнца (с учётом суммарной массы):
$$r_H=a{\left(\frac{m_{\mathrm{ast}}+m_{\mathrm{sat}}}{3M_{\odot }}\right)}^{1/3},$$ где $a$ — большая полуось орбиты системы вокруг Солнца, $M_{\odot }$ — масса Солнца.
Оценки и числа:
- $a=2\mathrm{AU}=2\cdot 1.4959787\times 10^{11}\mathrm{m}=2.99196\times 10^{11}\mathrm{m}$.
- Диаметр астероида $D=200\mathrm{km}\Rightarrow R_{\mathrm{ast}}=100\mathrm{km}=1.0\times 10^5\mathrm{m}$.
- Возьмём типичную плотность $\rho \approx 2500kg/{\mathrm{m}}^3$. Тогда масса астероида
$$m_{\mathrm{ast}}=\rho \frac{4}{3}\pi R_{\mathrm{ast}}^3=2500\cdot \frac{4}{3}\pi (1.0\times 10^5{)}^3\approx 1.05\times 10^{19}\mathrm{kg}.$$ - Масса спутника $m_{\mathrm{sat}}=1.0\times 10^{18}\mathrm{kg}$. Суммарно $m_{\mathrm{tot}}\approx 1.15\times 10^{19}\mathrm{kg}$.
- Масса Солнца $M_{\odot }\approx 1.9885\times 10^{30}\mathrm{kg}$.
Подставляем:
$$\frac{m_{\mathrm{tot}}}{3M_{\odot }}\approx \frac{1.15\times 10^{19}}{3\cdot 1.9885\times 10^{30}}\approx 1.92\times 10^{-12},$$ $${\left(\frac{m_{\mathrm{tot}}}{3M_{\odot }}\right)}^{1/3}\approx 1.235\times 10^{-4},$$ $$r_H\approx 2.99196\times 10^{11}\cdot 1.235\times 10^{-4}\approx 3.70\times 10^7\mathrm{m}\approx 3.7\times 10^4\mathrm{km}.$$
Чувствительность: при плотностях $1500-3500kg/{\mathrm{m}}^3$ $r_H$ лежит примерно в диапазоне $(3.2-4.1)\times 10^7\mathrm{m}$.
Устойчивость орбиты:
- Сфера Хилла даёт грубый внешний предел, где солнечные приливные силы начинают доминировать; орбита спутника будет надёжно устойчивой только если его полуось $a_{\mathrm{sat}}$ существенно меньше $r_H$.
- Для про-градных спутников практическое ограничение устойчивости обычно $\lesssim 0.3-0.5r_H$ (т.е. ~$1.1-1.8\times 10^7\mathrm{m}$), для ретроградных — можно доходить ближе к $\sim 0.7r_H$.
- В данном случае масса спутника составляет ≈10% от массы астероида, поэтому система ближе к двойной (бинарной): движение вокруг общего центра масс важно учитывать, и простая модель "малой точечной массы" менее точна. Тем не менее приведённый $r_H$ с учётом суммарной массы даёт корректный масштаб.
- Практически, стабильная орбита возможна при радиусах орбиты от нескольких сотен километров (без столкновения) до нескольких тысяч — десятков тысяч км (но лучше значительно внутри $r_H$). Орбиты с полуосями близкими к $r_H$ будут уязвимы к солнечным возмущениям и резонансам и могут со временем разрушиться.
Вывод: радиус Хилла ≈ $3.7\times 10^7\mathrm{m}$ (≈37 000 км). Спутник будет устойчиво держаться только если его орбита существенно меньше этой величины (рекомендуемо $<0.3-0.5r_H$); при массе спутника ≈10% от астероида система фактически бинарная и требует более точного численного анализа для долгосрочной устойчивости.