Кратко — причина и задание.
Объяснение причин ретроградного движения
- В геоцентрической (птолемеевой) системе ретроградное движение объясняют сочетанием двух круговых движений: центр эпицентра (деферент) обращается вокруг Земли, а планета движется по малому кругу — эпициклу, центр которого движется по деференту. Если вектор скорости от эпицентра в определённый момент направлен против общего вращения, видимое долгота планеты на небе меняет знак и наблюдается ретроградность. Математически (плоская модель):
$$\theta (t)=\Omega t,\psi (t)=\omega t$$ $$r(t)=R(\cos \theta ,\sin \theta )+r(\cos (\theta +\psi ),\sin (\theta +\psi ))$$ Видимая (геоцентрическая) долгота
$$\lambda (t)=atan2(y(t),x(t)).$$ Ретроградно, когда
$$\frac{d\lambda }{dt}<0,\frac{d\lambda }{dt}=\frac{x\dot{y}-y\dot{x}}{x^2+y^2}.$$ Условие $\frac{d\lambda }{dt}<0$ реализуется, когда составляющая скорости от эпицикла противодействует и преобладает над вращением деферента.
- В гелиоцентрической системе ретроградность — явление относительного движения: Земля и планета движутся вокруг Солнца с разными угловыми скоростями, и когда Земля «обгоняет» внешнюю планету (или в случае внутренних планет — при прохождении соединения), направление на планету на небе временно меняет знак. В простой круговой копланарной модели:
$$r_e=a_e(\cos ({\omega }_{e}t+{\varphi }_e),\sin ({\omega }_{e}t+{\varphi }_e)),$$ $$r_p=a_p(\cos ({\omega }_{p}t+{\varphi }_p),\sin ({\omega }_{p}t+{\varphi }_p)),$$ геоцентрический вектор
$$r_{gp}=r_p-r_e,\lambda (t)=atan2(y_{gp},x_{gp}).$$ При ${\omega }_e>{\omega }_p$ (для внешних планет) в момент «оппозиции» Земля проходит ближе и видимая долгота может временно уменьшаться (ретроградность). Это чисто геометрический эффект относительной скорости, без дополнительных круговых движений.
Практическое задание (школьное, программирование + визуализация)
Цель: смоделировать и визуализировать ретроградное движение в Птолемеевой и гелиоцентрической моделях, показать совпадающие видимые петли.
1) Общие требования
- Язык/среда: Python (numpy, matplotlib), Jupyter notebook.
- Временной интервал: $t$ от $0$ до $T$ лет, шаг $\Delta t$ (например $\Delta t=0.002$ года).
- Вычислять координаты, долготу $\lambda (t)$ и производную $\dot{\lambda }(t)$ численно; выделять интервалы с $\dot{\lambda }<0$.
2) Модель Птолемея
- Параметры (пример): $R=1$ (AU условно), $r=0.5$, $\Omega =2\pi /1$ (рад/год), $\omega =-2\pi /2$ (рад/год). Можно варьировать $r,\omega$.
- Формулы:
$$\theta (t)=\Omega t,\psi (t)=\omega t,$$ $$x(t)=R\cos \theta (t)+r\cos (\theta (t)+\psi (t)),$$ $$y(t)=R\sin \theta (t)+r\sin (\theta (t)+\psi (t)),$$ $$\lambda (t)=atan2(y(t),x(t)).$$ - Задачи:
a) Построить траекторию $(x,y)$ в небесной плоскости (след планеты и деферента/эпицилов).
b) Построить $\lambda (t)$ vs $t$, выделить участки с $\dot{\lambda }<0$.
c) Анимировать движение, показывая вектор от Земли и след видимой долготы.
3) Гелиоцентрическая модель (круговые орбиты)
- Параметры для сравнения (пример – Марс):
$$a_e=1\text{AU},T_e=1\text{год},{\omega }_e=\frac{2\pi }{T_e}=2\pi ,$$ $$a_m=1.524\text{AU},T_m=1.88\text{года},{\omega }_m=\frac{2\pi }{T_m}.$$ - Формулы:
$$r_e=a_e(\cos ({\omega }_{e}t),\sin ({\omega }_{e}t)),r_p=a_p(\cos ({\omega }_{p}t),\sin ({\omega }_{p}t)),$$ $$r_{gp}=r_p-r_e,\lambda (t)=atan2(y_{gp},x_{gp}),$$ $$\dot{\lambda }(t)\approx \frac{\lambda (t+\Delta t)-\lambda (t-\Delta t)}{2\Delta t}.$$ - Задачи:
a) Построить след $r_{gp}$ в небесной плоскости;
b) Построить $\lambda (t)$ vs $t$ и найти интервалы с $\dot{\lambda }<0$;
c) Сравнить по форме и времени петли с результатами Птолемеевой модели (показать, что при подборе параметров эпицентра петли похожи).
4) Выводы и вопросы для учащихся
- Сравнить продолжительность и амплитуду ретроградного периода в обеих моделях.
- Пояснить, почему Птолемеевы эпициркулы могут аппроксимировать гелиоцентрический эффект (эквивалентная геометрия видимого движения).
- Предложить усложнение: учесть эллиптичность орбит (простое приближение по закону Кеплера) и повторить для Меркурия/Венеры (внутренние планеты).
5) Подсказки по реализации (кодовый скелет)
- Создать массив $t$.
- Для каждой модели вычислять $x(t),y(t)$, затем $\lambda (t)$ через $atan2$.
- Численно дифференцировать $\lambda (t)$, корректировать разрывы из-за перехода через $-\pi$/$\pi$.
- Отрисовать: (i) траектория на небесной плоскости, (ii) $\lambda (t)$ с выделенными ретроградными участками.
Это задание покажет физическую (гелиоцентрическую) причину ретроградности и иллюстрирует, как в геоцентрической системе её аппроксимировали с помощью эпициркулей.