Краткий план и расчёт чувствительности.
1) Цель и параметры для расчёта
- масса планеты: $M_p=5M_{\oplus }$.
- примеры орбит: короткая (контрактный пример) $P=10$ суток и «обитаемая» $P=100$ суток.
- масса звезды (K-тип): возьмём $M_{\ast }=0.8M_{\odot }$. примем $\sin i=1$, $e=0$.
2) Полуамплитуда сигналa (радиальная скорость)
Общая формула для полуамплитуды $K$:
$$K={\left(\frac{2\pi G}{P}\right)}^{1/3}\frac{M_p\sin i}{(M_{\ast }+M_p{)}^{2/3}}\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}.$$ При $M_p\ll M_{\ast }$ удобно использовать приближение
$$K\approx 28.4329m/s\frac{M_p/M_J}{(P/\mathrm{yr}{)}^{1/3}(M_{\ast }/M_{\odot }{)}^{2/3}}\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}.$$ Для $M_p=5M_{\oplus }$ ($=0.01573M_J$) и $M_{\ast }=0.8M_{\odot }$ получаем:
- при $P=10$ суток ($=0.02737$ год):
$$K\approx 1.72m/s.$$ - при $P=100$ суток ($=0.2738$ год):
$$K\approx 0.80m/s.$$
3) Шумовой бюджет и требуемая точность на одном измерении
Суммарная погрешность по точке:
$${\sigma }_{\mathrm{tot}}=\sqrt{{\sigma }_{\mathrm{photon}}^2+{\sigma }_{\mathrm{instr}}^2+{\sigma }_{\mathrm{jitter}}^2+{\sigma }_{\mathrm{cal}}^2},$$ где типичные вклады:
- фотонный шум ${\sigma }_{\mathrm{photon}}$ зависит от яркости и S/N (для ярких K-звёзд $V\lesssim 9$ можно получить ${\sigma }_{\mathrm{photon}}\sim 0.3-0.7m/s$ на 8–10 m телескопе с ESPRESSO; на 3.6–4 m с HARPS $\sim 0.5-1.0m/s$).
- инструментальная стабильность ${\sigma }_{\mathrm{instr}}$: для ESPRESSO/laser comb $\sim 0.1-0.2m/s$, для HARPS/HARPS-N $\sim 0.3-0.8m/s$.
- звездный «джиттер» ${\sigma }_{\mathrm{jitter}}$: для тихого K-курса $\sim 0.5m/s$, для умеренно активного $\sim 1-3m/s$.
- калибровочные ошибки ${\sigma }_{\mathrm{cal}}$ обычно $<0.2m/s$ при LFC/Fabry–Pérot.
Пример: для тихой звезды и хорошего инструмента (ESPRESSO) можно иметь
$${\sigma }_{\mathrm{photon}}=0.4m/s,{\sigma }_{\mathrm{instr}}=0.15m/s,{\sigma }_{\mathrm{jitter}}=0.5m/s,{\sigma }_{\mathrm{cal}}=0.1m/s,$$ тогда
$${\sigma }_{\mathrm{tot}}\approx \sqrt{0.4^2+0.15^2+0.5^2+0.1^2}\approx 0.71m/s.$$
4) Число наблюдений для детекции (приближённая формула)
Для синусоидального сигнала с белым шумом оценка погрешности полуамплитуды:
$${\sigma }_K\approx \sqrt{\frac{2}{N}}{\sigma }_{\mathrm{tot}}.$$ Для детекции на уровне $\mathrm{SN}{\mathrm{R}}_{\det }$ по полуамплитуде требуется ${\sigma }_K\le K/\mathrm{SN}{\mathrm{R}}_{\det }$, откуда
$$N\ge 2{\left(\frac{\mathrm{SN}{\mathrm{R}}_{\det }{\sigma }_{\mathrm{tot}}}{K}\right)}^2.$$ Примеры при требуемой детекции $\mathrm{SN}{\mathrm{R}}_{\det }=5$:
- если ${\sigma }_{\mathrm{tot}}=0.8m/s$:
- при $P=10$ d ($K=1.72m/s$):
$$N\ge 2{\left(\frac{5\cdot 0.8}{1.72}\right)}^2\approx 11.$$ - при $P=100$ d ($K=0.80m/s$):
$$N\ge 2{\left(\frac{5\cdot 0.8}{0.80}\right)}^2=50.$$ - если ${\sigma }_{\mathrm{tot}}=0.5m/s$ (лучшие условия):
- $P=100$ d:
$$N\ge 2{\left(\frac{5\cdot 0.5}{0.80}\right)}^2\approx 20.$$
5) Рекомендации по наблюдательному плану (практика)
- Инструменты: для лучшей чувствительности рекомендую ESPRESSO@VLT (точность $\sim 0.1-0.5m/s$), альтернативы: NEID, EXPRES, HARPS/HARPS-N (для ярких целей). Использовать лазерную частотную расчётную опору или Fabry–Pérot.
- Экспозиции: длительность $\gtrsim 10-20$ минут для усреднения p-mode осцилляций у K-звёзд; цель — получить $S/N$ достаточный для требуемого ${\sigma }_{\mathrm{photon}}$.
- Каденс и базис по времени:
- для короткого периода $P\sim 10$ d: $N\sim 12-20$ измерений, распределённых равномерно по фазам в течение $2-3$ периодов (базис $\sim 30-60$ дней).
- для $P\sim 100$ d: $N\sim 20-50$ измерений, равномерно распределённых в течение $>2$ полных периодов (базис $\gtrsim 300$ дней; оптимально 1.5–2 года для надёжного отделения активности).
- Учитывать ротационный период звезды: избегать совпадения наблюдений только в одни фазы ротации; получить фотометрический мониторинг (TESS/ground) для оценки спотов и ротации.
- Индикаторы активности: одновременно регистрировать Ca II H&K (S-index), Hα, BIS и FWHM спектральных линий; применять GP-моделирование или регрессию по активностным индикаторам для отделения кореллированного шума.
- Tellurics и барицентрическая коррекция: использовать шаблоны telluric и точные барицентр. поправки; избегать диапазонов сильно загрязнённых telluric-линий или моделировать их.
6) Итоговые числовые рекомендации (кратко)
- Для обнаружения $5M_{\oplus }$ вокруг K-звезды:
- если цель ближняя / короткий период ($P\sim 10$ d) — достаточно ~$N\approx 10-20$ измерений при ${\sigma }_{\mathrm{tot}}\lesssim 0.8m/s$.
- если цель в зоне $P\sim 100$ d — потребуется $N\approx 20-50$ измерений при ${\sigma }_{\mathrm{tot}}\lesssim 0.5-0.8m/s$ и базис $>300$ дней.
- Лучшие инструменты: ESPRESSO (VLT) для малых амплитуд; HARPS/HARPS-N, NEID, EXPRES как рабочие варианты в зависимости от яркости цели.
7) Главные источники помех и как с ними справляться
- звездная активность (spots/plages, ротация): мониторинг активности, GP и индикаторы; гибкий каденс.
- п-моды и конвективные шумы: длинные экспозиции (≥10–20 мин) и средние по ночам.
- инструментальные дрейфы: частотный гребёнчатый эталон / лазерная расчётная опора, частая калибровка.
- telluric-линии и атмосферные эффекты: маскирование/моделирование, наблюдения при благоприятных атмосферных условиях.
Если нужно, могу пересчитать для конкретной звезды (визуальная звёздная величина, точная масса, предполагаемый период), указав ожидаемые экспозиции и реальное число ночей на конкретном телескопе.