Процедура оценки массы и спина чёрной дыры по орбитам ближайших звёзд (например, S‑звёзды у Sgr A*) и ключевые ограничения:
Процедура (пошагово)
- Наблюдения: высокая точность астрометрии (угловые положения vs. время) и спектроскопии (лучевая скорость) для набора звёзд; нужен длительный временной базис, желательно несколько орбит или хотя бы перицентр.
- Преобразование углов в длины: полупосяс орбиты в физических единицах $a=\alpha R_0$, где $\alpha$ — наблюдаемый угловой полупаось, $R_0$ — расстояние до центра.
- Первичная оценка массы (классическое Кеплерово приближение):
$$M=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{T}^2},$$ где $T$ — период. При работе с угловыми данными $M\propto R_0^3$ (см. ниже).
- Включение релятивистских поправок (пост‑ньютониан / общая теория относительности) в модель движения и лучей:
- гравитационный + транзверзальный красный сдвиг (комбинированный релятивистский делэй) вокруг перицентра для контроля $GM/r{c}^2$;
- перицентральная прецессия Шварцшильда:
$$\Delta {\omega }_{\mathrm{Sch}}=\frac{6\pi GM}{c^{2}a(1-e^2)}\text{(радиан на орбиту)},$$ даёт дополнительную независимую информацию о $M$;
- эффект Лензе–Тирринга (фрейм‑драггинг) и прецессии узлов, чувствительные к угловому моменту $J$ (спину): средняя скорость ЛТ
$${\Omega }_{\mathrm{LT}}=\frac{2GJ}{c^2{a}^3(1-e^2{)}^{3/2}}.$$ Часто используют безразмерный параметр спина $a_{\ast }=\frac{cJ}{G{M}^2}$ ($0\le a_{\ast }\le 1$); тогда величина сдвига узлов/на орбиту выражается через $a_{\ast }$ (см. ниже).
- Подгонка полной модели (ньютон + PN/GR, лучевая трассировка при необходимости) к данным методом Бейс/Максимального правдоподобия (MCMC, nested sampling), при одновременной оценке параметров: $M$, $R_0$, параметры орбит, ориентация спина (модуль $a_{\ast }$ и направление), вклад расширенного распределения массы и систематик.
- Проверка систематики: моделирование влияния дополнительных звёзд, невидимой массы, ошибок эталонной системы координат, светового смещения и переменной яркости.
Формулы для спина (полезные выражения)
- связь момента импульса и безразмерного спина:
$$J=\frac{a_{\ast }G{M}^2}{c}.$$ - сдвиг узлов за одну орбиту (приближённо):
$$\Delta {\Omega }_{\mathrm{LT}}={\Omega }_{\mathrm{LT}}T=\frac{4\pi a_{\ast }(GM{)}^{3/2}}{c^3{a}^{3/2}(1-e^2{)}^{3/2}}.$$ Эти величины убывают быстро с увеличением $a$ и растут с $a_{\ast }$ и $M$.
Ключевые ограничения точности и главные источники ошибок
- Неопределённость расстояния $R_0$: поскольку $a\propto R_0$, из формулы Кеплера $M\propto R_0^3$. Ошибка:
$$\frac{\delta M}{M}=3\frac{\delta R_0}{R_0}.$$ Значение $R_0$ — одна из доминирующих систематик.
- Астрометрическая и радиальная точности: погрешности в положениях и скоростях напрямую ограничивают точность параметров орбиты; для обнаружения эффектов спина требуются значительно более высокие точности (см. ниже).
- Невязка с распределением массы внутри орбиты (звёздный купол, тёмная масса, компактные объекты): оно вызывает ньютоновскую прецессию, которая может имитировать или маскировать релятивистскую прецессию. Нужно моделировать и маргинализировать вклад расширенной массы.
- Возмущения от других звёзд/близких проходов: приводят к случайной изменчивости орбит (коррелят/срезают сигналы спина).
- Деградация сигнала спина: эффекты Лензе–Тирринга и квадрупольной структуры скалируют как высокие степени $1/a$ и $a_{\ast },a_{\ast }^2$ соответственно; для звёзд с большими полуосями эффекты слишком малы.
- Систематические ошибки эталонной системы координат, плейт- искажений, спутниковой/атмосферной рефракции и др.
Практические требования для детекции
- Масса и Шварцшильд‑прецессия: уже измерялись для звезды S2 (требуемая точность RV $\sim 10$–$50$ km/s и астрометрия $\sim 0.1$–$1$ mas); подтверждение общей теории относительности на уровнях, доступных текущим наблюдениям.
- Спин (ЛТ) — значительно сложнее: нужны либо звёзды с очень малыми перицентрами (малый $a$), либо обнаружение пульсара вблизи чёрной дыры. Типичные требования — астрометрия на уровне десятков микросекунд угла и/или RV с точностью нескольких km/s + несколько орбит/длинная временная база + несколько звёзд с различными плоскостями орбит, чтобы разрулить ориентацию спина и побочные эффекты. Без этого спин и его направление сильно вырождены и неразрешимы.
- Длительность наблюдений: многие эффекты накопительные (прецессия на орбиту), поэтому требуется наблюдать ≥1 орбиты (часто десятки лет для типичных звёзд).
Резюме (коротко)
- Массу можно надёжно оценить из Кеплеровой подгонки с учётом релятивистской коррекции; основная систематика — ошибка $R_0$ и неизведанная внутренняя масса.
- Спин извлекается через слабые релятивистские эффекты (ЛТ, квадруполь), требует гораздо более строгих требований по точности и/или обнаружения очень близких объектов (пульсар/точечная звезда с малым $a$ и высоким $e$), и подвержен сильной депривации из‑за возмущений и неопределённой распределённой массы.