Краткий план оценки вклада эффекта Ярковского и вероятности перехода орбиты в потенциально опасную для Земли.
1) Выделение нехв. ускорения из наблюдений
- Провести точную орбитальную подгонку с учётом параметра продольного (трансверсального) негравитационного ускорения $A_2$. Модель часто задают как
$$a_t(r)=A_2{\left(\frac{r}{1\mathrm{au}}\right)}^{-2},$$ и включают в поправку при определении орбиты (программами OrbFit, Find_Orb и т.д.). Оценка $A_2\pm {\sigma }_{A_2}$ даёт непосредственное наблюдательное подтверждение воздействия Ярковского.
2) Сопоставление с термо-физической моделью
- Построить термофизическую модель (TPM) на основе: диаметр $D$, альбедо $p_V$, период вращения $P$, облик и облик-оси (облик/оси часто неизвестны — использовать распределения), теплоёмкость/теплопроводность/инерция (термическая инерция $\Gamma$), плотность $\rho$, шероховатость. TPM даёт предсказание средн. трансверсального ускорения и, соответственно,
$$⟨\dot{a}⟩=\frac{2}{n\sqrt{1-e^2}}⟨a_t⟩,$$ где $n=\sqrt{\mu /a^3}$ — среднее движение. Для приближённого масштабирования часто используют зависимость
$$\dot{a}\propto \frac{\cos \gamma }{D},$$ где $\gamma$ — наклон оси (обликуи́ти). Сопоставление предсказанного $\dot{a}$ и измеренного через $A_2$ помогает отделить эффект Ярковского от систематик или других сил.
3) Оценка временных масштабов смещения орбиты
- Для оценки времени, за которое изменение полуоси $\Delta a$ будет достигнуто:
$$t\approx \frac{\Delta a}{|\dot{a}|}.$$ Пример: при $|\dot{a}|=10^{-4}au/Myr$ смещение $\Delta a=10^{-2}\mathrm{au}$ займёт $\sim 100\mathrm{Myr}$.
(Типичные величины зависят от размера; порядок величин $|\dot{a}|\sim 10^{-5}\text{–}10^{-3}au/Myr$ для тел от сотен метров до километра.)
4) Модель перехода в опасную орбиту (алгоритм вероятности)
- Построить ансамбль клонов, сэмплируя неопределённости:
a) ковариацию орбиты (позиционно-динамическую),
b) неопределённости $A_2$ (из подгонки) или распределения физ. параметров (из TPM: $D,\Gamma ,\rho ,\gamma ,P$),
c) неопределённости наблюдений и возможных неучтённых эффектов.
- Прогнать каждый клон через N‑body интегратор с включённым модулем Ярковского (или с параметризованным $A_2$) и всеми планетами, близкие подходы и нелинейности учитывать точно (REBOUND, Mercury, SWIFT с модификацией).
- Отслеживать критерии «потенциально опасен»: например, минимальное расстояние до Земли MOID $<0.05\mathrm{au}$ и абсолютная величина $H$ соответствующая диаметру, либо явные пересечения/столкновения. Подсчитать долю клонов, достигших этих состояний в заданный горизонт времени $T$ — это оценка вероятности.
5) Учет резонансов и хаотичности
- Особое внимание резонансам (mean‑motion и secular): Ярковский может сдвинуть астероид в область резонанса, где быстро растёт эксцентриситет и вероятность выхода на пересекающую Землю орбиту. Для оценки этого используют долгосрочные интеграции и/или статистические карты фазы (action–angle), а также вычисление времени Ляпунова.
- При наличии резонансов вероятность генерализуется: достаточно оценивать вероятность попадания в резонанс (из клонов), затем вероятность «выброса» в Земле‑пересекающую орбиту из резонанса.
6) Проверка и уточнение
- Если оценка вероятности существенна (>10^{-4}–10^{-3} для долгосрочного риска), требуется улучшить входные данные: радиолокация (радиолокатор даёт точный размер/форма/расстояние), фотометрия (оси и период), инфракрасные измерения (термическая инерция), дополнительная точная астрометрия для сужения $A_2$.
- При повторной подгонке можно уменьшить разброс $A_2$ и точнее оценить риск.
Полезные формулы (сводка)
- Трансверсальное ускорение модельно:
$$a_t(r)=A_2{\left(\frac{r}{1\mathrm{au}}\right)}^{-2}.$$ - Связь с дрейфом полуоси (усреднёно):
$$⟨\dot{a}⟩=\frac{2}{n\sqrt{1-e^2}}⟨a_t⟩.$$ - Временной масштаб смещения:
$$t\approx \frac{\Delta a}{|\dot{a}|}.$$
Практические рекомендации
- Если $A_2$ измерен с S/N>3 — использовать наблюдательный $A_2$ как приоритет. Если нет — построить TPM и породить распределение $A_2$.
- Генерировать не менее $10^3$–$10^4$ клонов для статистической надёжности; при необходимости — больше для редких событий.
- Использовать интеграции на сроки сравнимые с ожидаемым $t$ перехода (иногда сотни Myr), но для оценки конкретной опасности обычно берут 10–100 Myr и уточняют по результатам.
Коротко: измерьте/оцените $A_2$, конвертируйте в $\dot{a}$ через формулу Гаусса, постройте ансамбль клонов с распределением физ. параметров, прогоните N‑body+Ярковский интеграции, и доля клонов, ставших Earth‑crossing или с MOID ниже порога, даёт искомую вероятность; время оценки даётся просто как $\Delta a/|\dot{a}|$, но финальная вероятность зависит от резонансной динамики и требует Monte‑Carlo.