Ниже приведены понятные, пошаговые способы построения общих касательных к двум окружностям — сначала «вручную» (компас + линейка / чертёж), затем в CAD (команды/аналитика), — а также сравнение точности, трудоёмкости и областей применения обоих подходов.

Введём обозначения (одинаково для всех методов):

O1(x1,y1), r1 — центр и радиус первой окружности;O2(x2,y2), r2 — центр и радиус второй окружности;d = |O2O1| — расстояние между центрами.

Классификация возможных случаев (важно проверить заранее):

d > r1 + r2 — две окружности раздельны: 4 общие касательные (2 «прямые/наружные» (direct), 2 «пересекающие/внутренние» (transverse)).d = r1 + r2 — касаются внешне: 3 общие касательные (две внешние + одна общая в точке касания).|r1 − r2| < d < r1 + r2 — пересекаются: 2 внешние касательные (внутренних нет).d = |r1 − r2| — касаются внутренне: 1 касательная.d < |r1 − r2| — одна окружность внутри другой: общих касательных нет.

1) Ручное построение (компас + линейка). Два классических геометрических приёма: «приведение радиусов» (сумма/разность радиусов) и гомотетия. Описаны оба — выбирайте удобный.

A. Метод «приведения радиусов» (наглядный, часто легче реализовать на чертеже)

Идея: свести задачу к построению касательных от точки/центра к одной окружности.

Для внешних (direct) касательных (касание на одной «стороне» обеих окружностей):

Если r1 ≥ r2: от первой окружности отнимите радиус второй: постройте вспомогательную окружность C' с центром O1 и радиус r' = r1 − r2. (Если r1 < r2, поменяйте роли окружностей.)Проведите через центр O2 касательную к этой вспомогательной окружности C' (т.е. найдите точки касания от O2 к C'). Построение касательных от точки к окружности: провести окружность радиусом O2A (любой), пересечения, построить перпендикуляры и т.д. (классический алгоритм).Через найденные касательные к C' проведите прямые; эти прямые параллельны искомым общим внешним касательным исходных окружностей. Чтобы получить точную общую касательную исходных окружностей, сдвиньте каждую такую прямую так, чтобы она касалась второй окружности (эквивалентно: от каждой полученной прямой отложите внешне r2).Получите две внешние касательные.

Для внутренних (transverse) касательных (касание с противоположных сторон):

Постройте вспомогательную окружность C'' с центром O1 и радиус r'' = r1 + r2.От центра O2 постройте касательные к C'' (аналогично).Полученные прямые дают направления внутренних касательных; при необходимости скорректируйте смещением на r2 (на практике построение даёт уже линии касания).

Комментарии по построению касательной от точки A к окружности (классика):

Соедините A с центром O.Постройте окружность с диаметром AO.Точки пересечения этой окружности с данной окружностью — основания перпендикуляров из которых проводятся касательные.
(Или: построить окружность радиусом AO, пересечения с данной окружностью и далее через полученные точки провести перпендикуляр к OA.)

B. Метод гомотетии (чистая геометрия, даёт сразу точки касания)

Идея: центры гомотетии, переводящие одну окружность в другую, лежат на прямой O1O2. Существует внешний (внешняя гомотетия) и внутренний (внутренняя гомотетия) центры.
Шаги:
Найдите точку H_ext на прямой O1O2, делящую отрезок в отношении O1H_ext : HO2 = r1 : r2 (внешнее деление — если ищете внешнюю гомотетию, деление вне отрезка; внутренняя гомотетия — внутри отрезка в том же отношении).Из H_ext опустите касательную(ые) к одной из окружностей (построение касательной от точки вне окружности). Линии, проходящие через точки касания и H_ext, при проектировании дают общие касательные двух окружностей.Для внутренней гомотетии проделайте то же с точкой деления внутри O1O2 (отношение r1:r2), получите поперечные касательные.

Преимущества гомотетии: даёт прямо точки касания, понятен теоретически.

Практические замечания для ручного построения:

Точные результаты зависят от аккуратности, толщины линий и подручных инструментов.Для сложных конфигураций (малые промежутки, близкие центры) ручной метод становится неточным.

2) Построение в CAD (быстро и точно). Три подхода — интерактивный (встроенные инструменты), аналитический (формулы/скрипт), и геометрический (гомотетия/офсет).

A. Интерактивный CAD (AutoCAD, SolidWorks, Fusion360 и т.п.)

Многие CAD-пакеты имеют:
режим «коснуться» (tangent) для линии при создании — просто подтяните линию к окружностям, активируйте привязку Tangent для каждой окружности;команду «Провести линию между двумя объектами по касательной» или «Create Tangent Line» (в разных CAD разное название).
Шаги:
Включите привязку (OSNAP) «Tangent» или используйте команду построения касательной.Начните линию, щёлкните по первой окружности с привязкой Tangent, затем по второй окружности — CAD построит искомую общую касательную.Повторите для каждого варианта (две внешние, две внутренние) — CAD обычно предложит все возможные решения.

Преимущества: очень быстро, высокая точность заданной модели (пока не нарушены допуски). Лёгкая проверка и редактирование.

B. Аналитический / программный метод (формулы) — удобно, если нужно автоматизировать или вычислить координаты точек касания (например, для CAM, CNC или при экспорте координат).

Найдите вектор u = (x2−x1, y2−y1), d = |u|, theta = atan2(y2−y1, x2−x1).Для внешних (direct) касательных:
Если d > |r1 − r2|, вычислите phi = acos((r1 − r2) / d).Углы касательных: alpha1 = theta + phi, alpha2 = theta − phi.Точки касания на первой окружности: P1i = O1 + r1*(cos(alpha_i), sin(alpha_i)).Точки касания на второй окружности: P2i = O2 + r2*(cos(alpha_i), sin(alpha_i)).Линии P1i—P2i — это искомые касательные.Для внутренних (transverse) касательных:
Если d > r1 + r2, phi = acos((r1 + r2) / d).Углы alpha = theta ± phi.Точки на O1: P1 = O1 + r1*(cos(alpha), sin(alpha)).Точки на O2: P2 = O2 − r2*(cos(alpha), sin(alpha)) (обратите знак — касание с противоположной стороны).Учесть граничные случаи (равенства и несоответствия) — если аргумент acos выходит вне [-1,1], соответствующего типа касательных нет.

Преимущество аналитики: даёт координаты с точностью floating-point, удобна для скриптов и массовых задач.

C. Геометрический приём в CAD (гомотетия / оффсет)

Создайте вспомогательные окружности с радиусами |r1 − r2| или r1 + r2 (см. ручной метод).Используйте CAD‑команду «offset» или «construct tangent from point» для построения касательных к вспомогательной окружности из центра другой.Затем сдвиньте линию/понизьте / уточните до касания исходных окружностей (обычно CAD позволяет построить линии и затем применить Trim/Extend).

3) Сравнение: точность, трудоёмкость, области применения

Точность

Ручное:
Ограничено разрешающей способностью инструментов (толщина линии, точность линейки/компаса, зрение).Типично точность в пределах долей миллиметра на листе A4, что иногда недостаточно для инженерных допусков.CAD (интерактив/аналитический):
Практически ограничено плавающей точностью (double) — очень высокая точность координат и углов.Дополнительно — модельные допуски CAD/благонадежность вычислений (почти всегда достаточны для производства и ЧПУ).

Трудоёмкость (время, требующееся человеку)

Ручное:
Для одного случая ~ несколько минут (включая проверку). Требует практики.Для множества конфигураций — утомительно и подвержено ошибкам.CAD:
Интерактивно — секунды (если известны команды).При автоматизации (скрипт) — реализовать один раз, затем массово применимо. Быстрее и надёжнее при повторных задачах.

Удобство и области применения

Ручное:
Образование и понимание геометрии (учебные задачи, доказательства).Быстрые наброски, когда нет доступа к CAD (полевые наброски, концепт скетч).Художественные/архитектурные наброски, где абсолютная точность не критична.CAD:
Инженерная графика, конструкторская документация, производство (CNC, фрезеровка), чертежи с допусками.Когда нужно многократно генерировать решения или передавать точные координаты.При сложной геометрии (множество окружностей, анимация, проверка пересечений).

Практические советы и подводные камни

Всегда проверяйте d и сравнивайте с r1 ± r2, чтобы заранее знать число возможных касательных.При очень близких окружностях (d ≈ r1 + r2 или d ≈ |r1 − r2|) устойчивость ручного построения падает; CAD даёт более надёжный результат, но следует учитывать погрешности и численные погрешности acos.При программной реализации обрабатывайте значения на границе (аргумент acos за границами из-за численной ошибки — клампать в [-1,1]).При использовании гомотетии вручную удобно сначала найти центр гомотетии, затем касательные — этот метод хорошо показывает геометрическую связь и удобен при доказательствах.

Короткие рекомендации

Хочется понять геометрию и показать построение — выполняйте вручную методом гомотетии.Нужна точность и скорость для инженерных задач — используйте CAD (встроенные привязки tangent или аналитические формулы).Автоматизация и массовая обработка — реализуйте аналитический алгоритм (вычисление углов + координат точек касания).

Если хотите, могу:

Привести пошаговую реализацию аналитического алгоритма с конкретными формулами и примером числовых вычислений (с кодом на Python/JS).Показать пошаговые рисунки (с подписью точек), которые вы сможете распечатать и повторить вручную.