Ниже — простая верная построчная конструкция касательных к окружности из внешней точки (инструменты: линейка и циркуль), с объяснением, почему это работает, и с замечаниями о влиянии ошибок.

Исходные данные: известна окружность с центром O и радиусом r, и внешняя точка P (PO > r).

Пошаговая конструкция

Соедините отрезком точки O и P.Найдите середину M отрезка OP:
Циркулем с радиусом > OP/2 проведите две дуги из O и P; их пересечения соедините — прямая пересечёт OP в середине M.Постройте окружность с центром M и радиусом MO (это окружность с диаметром OP).Найдите точки пересечения этой окружности с данной окружностью (центра O). Обозначьте их T1 и T2 (если есть).Проведите прямые PT1 и PT2 — это искомые касательные к данной окружности.

Почему это работает (используемые свойства)

Теорема Фалеса (или теорема о вписанном угле над диаметром): любая точка T на окружности с диаметром OP даёт угол OTP прямой (∠OTP = 90°). Следовательно OT ⟂ PT, то есть PT — касательная, потому что радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной.Эквивалентная формулировка через мощность точки: PT^2 = PO^2 − r^2. Для внешней точки мощность положительна, что соответствует двум касательным.

Особые случаи

PO > r: два пересечения T1, T2 → две касательные.PO = r: окружности касаются в одной точке → одна касательная (точка P на данной окружности).PO < r: пересечений нет → касательных нет (точка внутри окружности).

Как ошибки при построении влияют на дальнейшую компоновку деталей

Ошибка в определении середины M или в проведении окружности с диаметром OP сместит точки T1, T2. Малое отклонение в положении точки касания порождает угловую ошибку направления касательной. В технической компоновке это может привести к:
несоосности сопрягаемых элементов (ось, направляющие);нарушению допусков посадки (например, отверстия и штифты не войдут или будут ослаблены);появлению зазоров или заеданий в контакте поверхностей;накоплению погрешностей при последовательных построениях (ошибка умножается при цепочке зависимых элементов).Геометрически: сдвиг точки касания на величину Δ на окружности даёт близкую по величине смещённую точку пересечения с другими элементами и изменяет угол касательной примерно на Δ/r (для малого Δ); если r мал, угловая ошибка растёт сильнее.Если ошибочно приняли точку внутри (или на границе) как внешнюю, вообще не будет корректной касательной — конструкция неверна.

Практические советы для уменьшения ошибок

Точно строить середину отрезка: использовать пересечение двух дуг (а не визуально делить отрезок).Работать более длинной и тонкой линией (длинные вспомогательные линии дают меньшую относительную ошибку).Проверить результат: измерить перпендикулярность OT и PT (построить перпендикуляр и проверить совпадение), или проверить равенство PT^2 = PO^2 − r^2 (возможно, численно или измерениями).При подготовке чертежа проставлять контрольные размеры и допуски, чтобы компенсировать неизбежные мелкие конструкционные погрешности.

Кратко: для построения касательных из внешней точки наилучший классический приём — построить окружность с диаметром OP и взять её пересечения с заданной окружностью; это использует теорему о вписанном угле (правый угол) и даёт касательные, перпендикулярные радиусу в точке касания. Тщательность построения критична: ошибка в середине OP или в пересечениях прямо сказывается на положении и направлении касательной и может привести к немалым проблемам при дальнейшей компоновке и сборке.