Ниже — кратко, но с нужными шагами и практическими замечаниями, два распространённых подхода (ручной «циркуль‑линейка» и аналитический/векторный), их сравнение по точности и удобству в учебной практике и в САПР, и рекомендации, когда какой метод предпочтительнее.

Задача
Дано: окружность с центром O и радиусом r и внешняя точка P (OP = d > r). Найти точки касания T1, T2 и прямые PT1, PT2.

Ручной (циркуль и линейка) метод — классическая постройка
Метод через окружность с диаметром OP (самый простой).
Шаги:
1) Постройте отрезок OP.
2) Найдите его середину M (компасом/линейкой).
3) Постройте окружность с центром M и радиусом MO = MP (окружность с диаметром OP).
4) Найдите пересечения этой окружности с данной окружностью — это точки T1 и T2.
Обоснование: угол OTP прямой (т.к. T лежит на окружности с диаметром OP), следовательно OT ⟂ PT — значит PT касательна.
5) Проведите прямые PT1 и PT2.

Альтернативная ручная постройка (через прямой перпендикуляр к радиусу):

Провести OP, на OP отложить расстояние d, построить треугольник и т. п. — обычно громоздче; метод с диаметром OP наиболее удобен.

Плюсы:

Простой, наглядный, не требует вычислений.Хорош для демонстрации свойств (геометрические доказательства, олимпиадные задачи, уроки).
Минусы:Ограниченная точность инструментом (погрешность компаса/линейки, человеческая).Не подходит для автоматической обработки большого числа случаев в САПР без численной реализации.Аналитический / векторный метод (подходит для САПР, программирования)
Решение на координатах или в векторной форме. Предположим O = (Ox,Oy), P = (Px,Py), d = |OP|.

Вариант A — алгоритм с поворотом (стабильный и простой для реализации):
Шаги:
1) Проверка: если d <= r — реальных касательных нет (d == r — ровно одна, касание).
2) Вычислить u = (P − O)/d — единичный вектор O→P.
3) Выбрать перпендикулярный единичный вектор w = (-u_y, u_x) (или (u_y, -u_x)).
4) Вычислить cosθ = r / d, sinθ = sqrt(1 − (r/d)^2).
5) Точки касания:
T1 = O + r (cosθ u + sinθ w)
T2 = O + r (cosθ u − sinθ w)
6) Провести прямые PT1 и PT2 (или задать их уравнения).

Почему это удобно:

Численно стабильно при обычных условиях.Нужна только одна корень-вычисление sqrt. Хорошо реализуется в САПР/СГИС/численных библиотеках.

Вариант B — аналитическое уравнение прямой (альтернатива):
1) Записать уравнение окружности (x − Ox)^2 + (y − Oy)^2 = r^2.
2) Записать уравнение произвольной прямой через P: y = m(x − Px) + Py (или ax + by + c = 0).
3) Подставить в уравнение окружности, потребовать дискриминанта квадратичного уравнения по x (или t) равного нулю (условие касания).
4) Решить уравнение для m (или a,b) — получится два значения (или одно при d=r).
Этот метод хорош, если нужно аналитически вывести уравнение касательной или получать символические выражения.

Сравнение: точность, удобство в учебной практике и в САПР

Точность

Ручной метод: ограничена инструментом и аккуратностью исполнения. Для задач, где нужна «чистая» геометрическая конструкция — достаточно; для инженерных допусков — нет.Аналитический/векторный метод (в САПР): даёт численные значения с точностью плавающей точки (обычно двойной точности), гораздо выше практической точности, плюс возможность контроля ошибок/эвристик. При d близком к r обе численные формулы могут терять точность, но векторный метод с поворотом обычно устойчивее, чем прямой подсчёт наклона.

Удобство применения

На уроках/в олимпиадных задачах: ручной метод интуитивнее, даёт конструкцию за несколько инструментальных шагов и позволяет обсуждать геометрическую идею.В САПР / программировании / массовых вычислениях: аналитический или векторный метод — однозначно удобнее. В САПР чаще используют векторное представление/алгоритмы пересечения окружностей, вычисление точки касания через углы/матрицы трансформации и пр.

Особые случаи и устойчивость

Если d очень близко к r (почти точка касания), ручной метод плотнее теряет точность; аналитика требует аккуратного численного подхода (использовать уравнения с минимизацией вычитаний, нормализацию векторов).В САПР часто реализуют метод пересечения двух окружностей (как в ручной конструкции): окружность 1: центр O, r; окружность 2: центр M (середина OP), радиус d/2 — их пересечение даёт T. Это — простой и численно устойчивый алгоритм, фактически цифровой аналог ручной постройки.В каких задачах предпочитать каждый метод

Предпочтительнее ручной метод:

Уроки геометрии, демонстрации свойств касательной.Олимпиадные задачи, классические постройки циркулем и линейкой.Когда требуется «чистая» конструкция без вычислений и достаточно визуальной точности.

Предпочтительнее аналитический/векторный метод:

Инженерные расчёты, САПР/CG/программирование, где нужны координаты точек касания и уравнения прямых.Массовые/автоматические вычисления (большое количество окружностей/точек).Ситуации, где требуются точные численные данные, подгонка, моделирование, оптимизация.Комбинация: в САПР часто используют цифровой аналог ручной схемы (пересечение двух окружностей) или векторную формулу с поворотами — они проще и устойчивее в реализации.Практические рекомендации для САПР/реализаций
Проверяйте d vs r (нет решения — выбросить ошибку).Для численной устойчивости используйте векторный/угловой метод (вычисление cosθ, sinθ) вместо вычисления наклона m при вертикалях.Можно реализовать оба метода: пересечение окружностей (простая геометрическая конструкция) и векторный поворот (быстро, без решающих квадратных уравнений).Обрабатывайте пограничный случай d ≈ r отдельно (линия касательная единичная).

Краткий итог

Ручной метод (окружность с диаметром OP) — прост, нагляден, хорош для обучения и доказательств, но ограничен по точности.Аналитический/векторный метод — оптимален для САПР и численных задач: даёт координаты, хорошо автоматизируется и при правильной реализации численно устойчив.
Выбор зависит от контекста: учебная наглядность и теоретические выкладки — ручной; практическая инженерия, программирование, обработка данных — аналитический/векторный.