Пошаговый классический построение (циркуль и линейка)

Дано: окружность с центром (O) радиуса (R) и внешняя точка (P) (см. случаи ниже).Построение:
Построить отрезок (OP).Построить его середину (M) (пересечение серединного перпендикуляра к (OP) с самим отрезком).Провести окружность с центром в (M) и радиусом (MO) — это окружность с диаметром (OP).Точки пересечения этой окружности с данной окружностью (если они есть) — это точки касания (T_1, T_2).Провести прямые (PT_1) и (PT_2) — они являются касательными к исходной окружности через (P).

Короткое обоснование

Условие касания: касательная в точке (T) перпендикулярна радиусу (OT). Значит в треугольнике (O T P) угол при (T) равен (90^\circ).По теореме Фалеса точка (T) лежит на окружности с диаметром (OP) тогда и только тогда, когда (\angle OTP=90^\circ). Поэтому пересечение окружности с диаметром (OP) и данной окружности даёт искомые точки (T).Частные случаи:
Если (PO<R) — касательных через (P) нет.Если (PO=R) — одна касательная (точка касания совпадает с (P)).Если (PO>R) — две касательные.

Длины и координатная формула (анализ/альтернатива)

Длина касательной от (P) до точки касания (T):
[
PT=\sqrt{PO^2-R^2}.
]Если заданы координаты (O=(x_0,y_0)), (P=(x_1,y_1)), положим (v=P-O=(v_x,v_y)), (d=|v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}). Тогда две точки касания можно вычислить аналитически:
вектор-единица вдоль (v): (u=\dfrac{v}{d}),единичный вектор, перпендикулярный (u): (w'=(-u_y,u_x)).
Тогда
[
T = O + \frac{R^2}{d}\,u \pm R\sqrt{1-\left(\frac{R}{d}\right)^2}\;w'.
]
Эта форма численно более устойчива, чем прямая запись через (v).

Соотношение с цифровыми инструментами (САПР) и погрешности

Источники ошибок:
представление чисел (плавающая точка) — округления при арифметике;решение уравнений пересечения окружностей или вычисление квадратного корня (\sqrt{d^2-R^2}) — потеря точности при (d\approx R) (катастрофическое сокращение);аппроксимация окружности полигоном при визуализации — геометрическая ошибка положения касательной;топологические/комбинаторные погрешности при обработке почти-коллинеарных или почти-касательных конфигураций (чувствительность к допуску).Численная устойчивость и рекомендации:
При вычислении используйте формулу с нормированными векторами (см. выше), чтобы избежать деления на большие/малые квадраты: нормирование (v) сначала уменьшает риск потери точности.Для (d) близкого к (R) используйте повышенную точность (long double, quad) или интервальную/арифметику с точными рациональными/символьными методами если нужно доказуемо правильное решение.Для проверки наличия касательных избегайте прямого сравнения (d==R); используйте относительный допуск: если (|d-R|<\varepsilon) считать касание одинарным, где (\varepsilon) зависит от масштаба задачи.Применять библиотеки с надёжными геометрическими примитивами (например, CGAL, GEOS) — они используют адаптивную арифметику или устойчивые алгоритмы пересечения.Практические последствия в САПР:
Визуально на чертеже касательная может быть построена по аналитическим координатам, но при отображении на конечной сетке/приборах она будет смещена на величину порядка машинного эпсилон умноженного на характерные размеры; для типичных double-операций это ~(10^{-15}) от размеров.Если окружность аппроксимирована полигоном с (N) сторонами, максимальное отклонение от истинной окружности ≈ (R\bigl(1-\cos(\pi/N)\bigr)\approx \dfrac{\pi^2 R}{2N^2}); это даёт ошибку в положении касательной при построении по полигонаю.В критических инженерных расчетах используйте контроль допусков, увеличивайте точность вычислений или применяйте аналитические/символьные проверки при почти-касательных ситуациях.

Короткое резюме

Классическое построение: окружность с диаметром (OP) даёт точки касания; затем проводим прямые от (P) к этим точкам.В САПР предпочтительны формулы с нормированными векторами и устойчивые численные методы; при близких к вырожденным случаям — повышенная точность, интервальная арифметика или устойчивые геометрические ядра.