Кратко — несколько классических методов построений и критерии выбора для подготовки производства с заданной точностью и допусками.
1) Построение касательных
- К касательной к окружности в заданной точке $T$: провести радиус $OT$ и провести через $T$ перпендикуляр — это и есть касательная.
- К окружности из внешней точки $P$: построить окружность с диаметром $OP$ (теорема Фалеса). Точки пересечения этой окружности с заданной окружностью — точки касания. Длина касательной $PT$: $PT=\sqrt{O{P}^2-r^2}$.
- Общие касательные двух окружностей (внешние/внутренние): использовать гомотетию центров (точки центра гомотетии делят отрезок центров в отношении радиусов). Практический прием: заменить одну окружность радиусом $r_1$ на окружность радиусом $|r_1\pm r_2|$ и провести касательные к равновеликим окружностям; затем масштабировать обратно.
- Для кривых общей касательной находят как пересечение нормалей/производных (аналитически) или численно решают систему уравнений касания.
2) Деление отрезка в заданном отношении $m:n$ - Классический (Талес): из точки $A$ провести произвольный луч, на нем отложить последовательно $m+n$ равных отрезков (компасом). Соединить последний с $B$ и провести через точки деления параллели этой линии — получим точку деления отрезка $AB$ в отношении $m:n$.
- Аналитический/координатный: задать $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$, точка деления по параметру $\lambda =\frac{m}{m+n}$: $X=(1-\lambda )A+\lambda B$.
- Выбор: для точных измерений и подготовки ЧПУ — аналитический (координатный) с численным контролем; для простых чертежей и шаблонов — метод Талеса.
3) Построение эвольвенты
- Геометрическая модель (разворачиваемая нить): фиксированную нить наматывают/снимают по окружности; след нити — эвольвента.
- Аппроксимация полигоном: делить окружность на мелкие дуги, на каждой ставить отрезок, равный длине дуги, откладываемый по касательной — последовательность точек аппроксимирует эвольвенту.
- Параметрическое выражение (используется в CAD/CAM): для окружности радиуса $r$ эвольвента задается параметром $t$ $$x=r(\cos t+t\sin t),y=r(\sin t-t\cos t).$$ - Выбор: для производства с высокой точностью — использовать параметрическое/численное построение и генерировать траекторию ЧПУ; для шаблонов/ручной резки — натяг нити или полигональная аппроксимация.
4) Построение сопряжений (филей)
- Сопряжение двух прямых радиусом $R$: от исходных прямых провести параллельные им прямые внутрь на расстояние $R$; их пересечение — центр дуги сопряжения; дуга радиуса $R$ с этим центром касается обеих прямых.
- Сопряжение прямой и окружности радиусом $R$: заменить окружность на окружность радиуса $r\pm R$ (внешнее/внутреннее), найти пересечение с параллелью к прямой на расстоянии $R$ — центр и т. д.
- Сопряжение двух окружностей: построить центры смещённых окружностей радиусами $r_1\pm R$, $r_2\pm R$ и найти касание их центров/пересечение линий — центр сопряжения.
- Для произвольных кривых строят смещённые (offset) кривые и ищут их пересечение; практически — численный расчет offset-ов и построение дуги.
5) Критерии выбора метода для производства (точность, допуски, технологичность)
- Точность и повторяемость:
- Очень высокая точность (микро‑уровень, жесткие допуски): использовать аналитические/параметрические описания в CAD/CAM, генерировать траектории ЧПУ с компенсацией радиуса инструмента, проверять размер координатными измерениями (CMM).
- Средняя точность (механическая обработка, шлифовка): формообразующие резцы/фрезы по программе, профилирование с проверкой калибрами; для сопряжений применять контурный фрезер или шлифовальную оснастку.
- Низкая/визуальная точность: шаблоны, лекала, ручные методы (компас, разметка).
- Учет инструментального геометрического радиуса: при программировании ЧПУ надо компенсировать радиус инструмента — фактическая траектория центра инструмента = желаемая профильная кривая смещённая на радиус.
- Аппроксимация и дискретизация (например, для эвольвенты): чтобы аппроксимационная ошибка хорды не превышала допуск $\epsilon$, для дуги радиуса $R$ можно выбрать шаг угла $\Delta \theta$ из условия
$$R(1-\cos (\frac{\Delta \theta }{2}))<\epsilon ,$$ т.е. $\Delta \theta <2\arccos (1-\frac{\epsilon }{R})$. Это даёт оценку количества сегментов для полигональной аппроксимации.
- Стабильность и воспроизводимость метода: методы, основанные на аналитике/CAD, лучше контролируются и менее зависят от навыка оператора.
6) Практические рекомендации
- Для серийного производства и жестких допусков: строить кривые в CAD, генерировать траектории с учётом компенсации инструмента, валидировать на стенде/СММ; использовать аналитические формулы (эвольвента, гомотетия) вместо ручных построений.
- Для прототипов/одиночных деталей: допускается полигональная аппроксимация и шаблоны; контролировать шаг аппроксимации по формуле выше.
- При сопряжении обязательно учитывать зазор/параметры термообработки и шероховатость — радиус дуги и допуски выбирать с учётом технологических припусков.
Выбор конкретного метода всегда определяется требуемым допуском, размером детали, доступным оборудованием (ручные инструменты, фрезер/шлифовка, ЧПУ) и необходимостью повторяемости; чем строже допуск — тем более аналитический/численный и автоматизированный метод предпочтителен.