Перпендикуляр и биссектрису можно построить стандартными приёмами только циркулем и непомеченной линейкой. Ниже — короткие пошаговые алгоритмы и типичные ошибки.
1) Перпендикуляр к прямой $l$ через точку $P$, лежащую вне $l$ - Постройте окружность с центром в $P$ и радиусом $r>0$, так чтобы она пересекала $l$ в двух точках $A$ и $B$.
- Постройте окружности с центрами в $A$ и $B$ и одним и тем же радиусом $R$, причём выберите $R>\frac{AB}{2}$ (или любым радиусом, дающим пересечение). Они пересекутся в двух точках $X$ и $Y$.
- Проведите прямую через $X$ и $Y$. Эта прямая — перпендикуляр к $l$ и проходит через $P$ (так как $P$ — центр окружности, пересекающей $l$ в $A,B$).
2) Перпендикуляр к прямой $l$ через точку $P$ на самой $l$ - Постройте окружность с центром в $P$ радиуса $r>0$, которая пересекает $l$ в двух точках $A$ и $B$ (симметрично по обе стороны от $P$).
- Затем как в пункте (1): окружности с центрами $A$ и $B$, одинаковый радиус $R>\frac{AB}{2}$, их пересечения $X,Y$. Прямая $XY$ — искомый перпендикуляр через $P$.
3) Перпендикулярный биссектор отрезка $AB$ - Постройте окружности с центрами $A$ и $B$ и одинаковым радиусом $R>\frac{AB}{2}$.
- Обозначьте их пересечения $X$ и $Y$.
- Прямая $XY$ — перпендикулярный биссектор: проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему.
4) Биссектриса угла $\angle AOB$ - Постройте окружность с центром в вершине $O$ и радиусом $r>0$, она пересечёт стороны угла в точках $A^{\prime }$ (на луче $OA$) и $B^{\prime }$ (на луче $OB$).
- Постройте окружности с центрами в $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$ и одинаковым радиусом $R$ (достаточно $R>\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{2}$), получив их пересечения $X$ и $Y$.
- Прямая $OX$ (или $OY$) — биссектриса угла $\angle AOB$.
Типичные ошибки и как их избежать
- Радиус циркуля выбран слишком мал: окружности не пересекаются. Решение — увеличить радиус (условия: $R>\frac{AB}{2}$ или просто выбрать большее $r$).
- Пересечения неразличимы или берут неверную пару точек (например, берут пересечение одной пары окружностей и ошибаются с другим). Решение — явно подписывать точки и проверять симметрию.
- Центры окружностей совпадают (вырожденный случай), например если выбрана нулевая длина радиуса; всегда $r>0$.
- Угол слишком острый/широк (почти прямой): нужно подобрать радиус окружности от вершины $O$ так, чтобы она пересекала обе стороны угла.
- Неправильная прокладка линейки: линия должна проходить через точно определённые пересечения; при аккуратной работе требуется точная фиксация точек.
- Невнимание к вырожденным случаям: точки совпадают ($A=B$ или $P$ лежит на середине уже построенного отрезка) — в таких случаях стандартные построения дают бесцельные или неопределённые пересечения.
Кратко: ключевые приёмы — строить окружности, добиваясь двух пересечений на нужной прямой или двух пересечений между парами окружностей, и проводить прямую через полученные пересечения; контролируйте радиусы так, чтобы пересечения существовали и были нечётко отделимы.