Кратко и по делу — методики и оценка.
1) Теория (формулы)
- Параболоид (революция параболы вокруг оси z): можно записать как $$z=\frac{x^2+y^2}{4p}$$ или в профильной форме параболы $$y=\frac{x^2}{4p}$$ (параметр $p$ — фокусный параметр).
- Эвольвента окружности радиуса $r$ (параметр $t$, угол разворачивания):
$$x=r(\cos t+t\sin t),y=r(\sin t-t\cos t).$$
2) Методика традиционного черчения (ручное построение)
- Параболоид:
1. В плоскости профиля (ось z и радиальная координата x) задайте уравнение параболы или постройте по фокус‑директрисе. Для числовых точек возьмите набор $x_i$ и вычислите $z_i$ по $z_i=\frac{x_i^2}{4p}$ и нанесите в масштабе.
2. Проведите осевые и поперечные разрезы (несколько радиальных сечений через ось) — построьте несколько профильных парабол и при помощи центровки/симметрии выполните радиальное развёртывание (построение генерирующей линии).
3. Сглаживание: соединяйте точки плавной эвольвентой циркулем/шаблоном или гибкой линейкой.
- Эвольвента:
1. Метод «нить/развёртывание»: на чертеже отложите окружность радиуса $r$; находите точки, разворачивая воображаемую нить: построение точек по правилу — tangent length = arc length. Практически: для углов $t_i$ вычислите дугу $s_i=r{t}_i$ и от точки касания по касательной отложите отрезок длины $s_i$. Соедините точки плавной кривой.
2. Дискретный метод (проще математики): возьмите набор $t_i$, вычислите координаты по формулам $x_i=r(\cos t_i+t_i\sin t_i),y_i=r(\sin t_i-t_i\cos t_i)$, нанесите точки и проведите сглаживающую кривую (шаблон/гибкая линейка).
- Рекомендации для ручного: выбор числа точек зависит от размера — для гладкости 12–24 точек на четверть профиля; использовать увеличенный масштаб для уменьшения погрешности.
3) Методика в САПР
- Параболоид:
1. Создать профильную параболу как аналитическую кривую (ввести уравнение) или построить по точкам/сплайну.
2. Применить операцию Revolve (вращение) вокруг оси — получаете точный аналитический (NURBS/серия поверхностей) параболоид.
3. Контроль точности: задать кривизну/допуск представления; экспорт в NURBS/IGES/STEP при необходимости.
- Эвольвента:
1. Если САПР поддерживает аналитические кривые — задать параметрические уравнения напрямую (скрипт/уравнение) и построить точную кривую.
2. Если нет — сгенерировать список точек по формулам $x=r(\cos t+t\sin t),y=r(\sin t-t\cos t)$ с равномерным шагом по $t$ и выполнить сплайн‑аппроксимацию/NURBS‑фит с заданным допуском.
3. Для объёмного тела — провести sweep/loft по направляющим или вращение соответствующего профиля.
- Дополнительно: использовать анализ кривизны, контроль отклонения аппроксимации (chordal tolerance), подгонку степеней NURBS для минимизации качания.
4) Преимущества и ограничения
- Традиционное черчение
- Преимущества: простота инструментов, наглядность, не требует ПО; хорошо для концептуальных/сборочных эскизов и небольших образцов.
- Ограничения: низкая точность и повторяемость, трудоёмкость при сложных формах (эвольвента), трудно контролировать кривизну и допуски; сложна подготовка данных для станков ЧПУ.
- САПР
- Преимущества: высокая точность и повторяемость; возможность задавать аналитические уравнения; простая генерация 3D‑поверхностей (revolve/sweep); контроль аппроксимации и аналитический анализ кривизны; экспорт для CAM/ЧПУ; быстрые изменения параметров.
- Ограничения: требует навыков и лицензий; некоторые САПР аппроксимируют сложные аналитические кривые сплайнами (вводится аппроксимационная ошибка); совместимость форматов/числовые погрешности при переводе (NURBS vs analytic); при слишком грубой дискретизации возможны артефакты.
5) Практические советы
- Для точных изделий (оптика, лопатки, шестерни) — использовать САПР с аналитическим описанием или высококачественным NURBS‑фитом.
- Для прототипа/эскиза — ручное построение с последующей цифровизацией (оцифровка контрольных точек).
- При аппроксимации в САПР следите за chordal tolerance; для визуально «гладкого» профиля достаточно 0.01–0.1 мм в зависимости от размера, для функциональных деталей — задавайте допуски по техзаданию.
- Для изготовления передайте в CAM точные NURBS/STEP; если используются сплайны, проверяйте отклонение от аналитической кривой.
Если нужно — могу привести пошаговый шаблон построения с конкретными числовыми примерами (набор $t_i$, координаты), или скрипт генерации точек для САПР.