1) Касательная к окружности (две типичные задачи)
- Касательная в заданной точке $A$ окружности с центром $O$. Алгоритм: провести радиус $OA$; касательная — прямая через $A$, перпендикулярная $OA$.
- Касательная из внешней точки $P$ к окружности радиуса $r$ с центром $O$. Алгоритм:
1. Провести отрезок $OP$.
2. Построить окружность с диаметром $OP$ (центр — середина $M$ отрезка $OP$).
3. Точки пересечения этой окружности с данной окружностью — точки касания $T$ (в силу того, что $\angle OTP=90^{\circ }$).
4. Провести прямые $PT$ — искомые касательные.
Условие существования: если $OP<r$ — касательных нет; если $OP=r$ — одна касательная (в точке $P$). Угол между $OP$ и касательной: $\varphi =\arccos \frac{r}{OP}$.
2) Общие касательные к двум окружностям
- Обозначения: центры $O_1,O_2$, радиусы $r_1,r_2$, расстояние между центрами $d=O_1{O}_2$.
- Число общих касательных:
- если $d>r_1+r_2$ — 4 (две внешние — прямые, две внутренние — переходные);
- если $d=r_1+r_2$ — 3;
- если $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$ — 2;
- если $d=|r_1-r_2|$ — 1;
- если $d<|r_1-r_2|$ — 0.
- Универсальный конструктивный метод через гомотетию:
1. Найти точки гомотетии на прямой $O_1{O}_2$:
- внешняя гомотетия $H_{ext}$ — делит отрезок $O_1{O}_2$ внешним образом в отношении $r_1:r_2$;
- внутренняя гомотетия $H_{int}$ — делит отрезок $O_1{O}_2$ внутренним образом в отношении $r_1:r_2$.
(Эти точки строятся делением отрезка в данном отношении классическими приёмами компас+линейка.)
2. От точки $H_{ext}$ провести касательные к любой из окружностей (например, к окружности 1) с помощью алгоритма «касательная из точки»: эти прямые — внешние общие касательные двух окружностей.
3. От точки $H_{int}$ провести касательные к окружности 1 — получим внутренние (переходные) общие касательные.
Обоснование: гомотетия с центром $H$ переводит одну окружность в другую и переводит касательную в касательную.
3) Пример практического применения в машиностроении
- Приводные ремни между шкивами: прямые отрезки ремня между шкивами лежат на общих касательных к окружностям шкивов. Для расчёта длины открытого ремня используют точки касания и дуги. Формула длины открытого ремня:
$$L=2\sqrt{d^2-(r_1-r_2{)}^2}+\pi (r_1+r_2)+2(r_1-r_2)\arcsin \frac{r_1-r_2}{d},$$ где $d=O_1{O}_2$. Построение касательных даёт точки опоры ремня и позволяет корректно задать траекторию, натяжение и зазоры в приводе.
Кратко: касательная в точке — перпендикуляр радиусу; касательная из внешней точки — пересечение окружности диаметра $OP$ с данной окружностью; общие касательные строят через центры гомотетии $H_{ext},H_{int}$ и последующие касательные из этих точек. Практическое применение — расчёт и конструирование ремённых приводов, натяжных устройств, проверка зазоров между вращающимися деталями.