Союз "with" может ставиться в конец предложения в английском языке, когда он используется в контексте предлога, который относится к чему-то упомянутому ранее в предложении. Это часто встречается в разговорной речи и в неформальном письме.

В вашем примере "What a difficult subject to begin the week with!" союз "with" стоит в конце, потому что он связывает предмет "a difficult subject" с дополнением "the week". В данном случае конструкция "to begin the week with" означает, что именно этот предмет будет связан с началом недели.

К примеру в предложении "I’ll go to the cinema with my friends" предлог "with" стоит перед дополнением, однако в неформальных высказываниях можно сказать "I’ll go to the cinema with." Если дальнейший контекст уже известен и подразумевается, это может звучать естественно для носителей языка, хотя такая форма может показаться странной для изучающих язык.

Однако в вашем первом примере "Why will you go to the cinema with?" предложение выглядит неполным без уточнения о том, с кем именно вы собираетесь пойти в кино (например, "with whom?"). Так что важно помнить, что такая форма может использоваться только если контекст ясен, и если она не делает фразу неполной.