Оба варианта являются правильными и грамматически корректными. Разница между ними заключается в том, что "I've been taking care" указывает на то, что вы занимались этим действием в течение некоторого времени (в данном случае, возможно, уже несколько дней или недель), в то время как "I take care" просто описывает факт того, что вы заботитесь о кошке вашего соседа в их отсутствие, без отсылки к продолжительности этого действия.

Таким образом, оба варианта верны и могут быть использованы в зависимости от контекста и того, что вы хотите выразить.