Кратко — математическая модель в физике и химии это упрощённое математическое представление реальной системы; её роль — делать предсказания и давать понимание, но каждая модель имеет область применимости и предпосылки, которые надо проверять и при необходимости корректировать.
Идеальный газ
- Модель и предпосылки: невзаимодействующие точечные молекулы, классическое поведение, равномерное наполнение объёма. Уравнение состояния: $pV=N{k}_{B}T$ (или $pV=nRT$).
- Где даёт точные предсказания: низкая плотность, температура достаточно высока, далеко от точек конденсации (газный режим).
- Ограничения и поправки: при росте плотности и при приближении к фазовым переходам взаимодействия важны — используют вандерваальсовскую модель $(p+a\frac{n^2}{V^2})(V-nb)=nRT$ или вириальную разложение; средняя длина свободного пробега $\lambda =\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^{2}n}$ и число Кнудсена $Kn=\lambda /L$ определяют необходимость молекулярной (кинетической) или континуальной (Гидродинамика) модели. При низких температурах классическая модель ломается, когда тепловая длина де‑Бройля ${\lambda }_{dB}=\frac{h}{\sqrt{2\pi m{k}_{B}T}}$ становится сравнимой с межмолекулярным расстоянием — нужны квантовые статистики (Бозе/Ферми).
Модель хаотического движения
- Детерминистская хаотичность: системы с малыми степенями свободы (например, Лоренц) дают экспоненциальную чувствительность к начальным условиям: $\delta x(t)\sim \delta x(0)e^{\lambda t}$, где $\lambda$ — положительный Ляпунов экспонент. Последствие: точечные предсказания возможны только на ограничённой по времени шкале, но статистические характеристики (средние, распределения, спектры) остаются предсказуемы.
- Стохастические модели (Броуновское движение): используют Ланжевеново уравнение $m\dot{v}=-\gamma v+\xi (t)$ с шумом $⟨\xi (t)\xi (t^{\prime })⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-t^{\prime })$, дающую для координаты в одномерном случае $⟨x^2(t)⟩=2Dt$ (диффузия). Такие модели точны при масштабной усреднённости и быстром «забывании» корреляций.
- Ограничения: реальная среда может иметь память (не δ‑коррелированный шум), аномальную диффузию $⟨x^2(t)⟩\propto t^{\alpha }$ с $\alpha \ne 1$, мультифрактальность; детерминистские модели применимы, если можно задать точные начальные условия; иначе — статистический/стохастический подход.
Квантовая теория поля (КТП)
- Роль и успехи: объединяет квантовую механику и специальную теорию относительности, даёт сверхточные предсказания (например QED — аномальный магнитный момент электрона). Формально оперирует лагранжианами и операторами; параметры «бегают» с масштабом по уравнениям Ренормгруппы $\mu \frac{dg}{d\mu }=\beta (g)$.
- Ограничения и области коррекции: большинство КТП — эффективные теории, валидные до некоторого отсечки $\Lambda$; при сильной связи (ненулевой сильной связи QCD) применимы только невозмущательные методы (решения на решётке, топологические конфигурации); ряд формализмов полагается на асимптотические (не сходящиеся) развёртки и требует ренормализации; на планковских масштабах требуется теория квантовой гравитации.
- Практика: используют эффективные теории (EFT) на соответствующем масштабе, сопоставляют с экспериментом и, при необходимости, вводят нелинейные/непертурбативные методы.
Как выбирать модель в исследовании (практическая последовательность)
1. Определить интересуемые наблюдаемые и требуемую точность.
2. Установить характерные масштабы (длина, время, энергия) и сравнить с естественными длинами (λdB, λ, характерные корреляционные времена).
3. Проверить симметрии и сохранения, выбрать минимальную модель, учитывающую нужные степени свободы.
4. Оценить малые параметры и сделать разложение (пертурбация по малому параметру) — начать с самой простой модели (Occam), затем по необходимости добавлять поправки.
5. Контролировать ошибки и валидировать модель экспериментально или численно; при несоответствии: добавить взаимодействия, шум, неравновесные эффекты, квантовые поправки или перейти к другой теории (EFT, решётка, stochastic).
6. Учитывать вычислительную стоимость и идентифицируемость параметров: проще модель — легче интерпретировать и проверить.
Вывод: модель даёт точные предсказания внутри своей области применимости (определённые масштабы, малые параметры, статистические усреднения). При выходе за эти пределы модель нужно корректировать или заменять на более общую (инклюзия взаимодействий, стохастики, квантовых эффектов, EFT или численных методов). Выбор модели определяется целями, масштабами, предпосылками и верификацией с данными.